    
Cornelius (Cornelius)
Junior Mitglied
Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 00:03: | 
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Hi!
Hab grad n kleines Problemchen hier. Ich soll ausgehend von der Exponentialreihe des Cosinus Hyperbolicus auf die Darstellung 1/2*exp(z)+exp(-z) kommen. Leider steig ich grad nicht so ganz durch, wie wir das beim "normalen" Kosinus gemacht haben.
Gebt mir n Tipp!
Gruß
Cornelius |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 929
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 10:52: |
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Hi!
Schauen wir uns mal die Definition von exp(z) an:
exp(z) = z0/0! + z1/1! + z2/2! + z3/3! + ...
Nun wissen wir, dass für gerade n gilt:
zn = (-z)n
Im Gegensatz dazu gilt für ungerade n:
zn = -(-z)n
Also addieren wir mal exp(z) und exp(-z):
exp(z) + exp(-z) = z0/0! + (-z)0/0! + z1/1! + (-z)1/1! + z2/2! + (-z)2/2! + z3/3! + (-z)3/3! + ...
Mit der obigen Beziehung für gerade/ungerade Exponenten erhalten wir:
exp(z) + exp(-z) = (z0/0! + z0/0!) + (z1/1! - z1/1!) + (z2/2! + z2/2!) + (z3/3! - z3/3!) + ...
= 2*z0/0! + 0 + 2*z2/2! + 0 + ...
= 2*z0/0! + 2*z2/2! + 2*z4/4! + ...
Und siehe da: Das ist die Definition von 2*cosh z. Dividiere durch 2 und du erhälst die Reihe für cosh z.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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