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Unendliche Reihe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Unendliche Reihe « Zurück Vor »

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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 16:52:   Beitrag drucken

Hi, noch einmal geht es um die Untersuchung des Konvergenzverhaltens
einer unendlichen Reihe und wieder würde ich mich über Hilfe sehr freuen:

Summe ( n = 1 bis unendlich )
{ (2n)!} / { 2^n * (n!)^2 }

Offensichtlich habe ich dabei einen Denkfehler gemacht, weil ich mit 2 verschiedenen Methoden 2 verschieden Ergebnisse erhalte:

Wenn ich den Summanden kürze, komme ich auf 1/n! und die Summe der Reihe ist dann e.

Bilde ich den Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder,
dann ist der Wert größer als 1, woraus ich auf Divergenz schließe.
Was mache ich nur falsch???

ratlos
elsa
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1819
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 17:29:   Beitrag drucken

kürze ich falsch?
kürzen

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 17:55:   Beitrag drucken

Hallo Fritz!

Tja, wenn ich das auch so schön schreiben könnte! ;-)

ich habe im Zähler:

2^n * n!

und im Nenner:

2^n * (n!)^2

und somit bleibt mir im Nenner n!

Habe ich falsch herausgehoben im Zähler?

liebe Grüße von elsa
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 794
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 19:22:   Beitrag drucken

Hallo elsa,

dein (verständlicher) Irrtum beruht darauf, dass du offensichtlich (2n)! als (2^n)*n! interpretierst! Das kannst du aber so nicht machen. (2n) darfst du somit nicht trennen, sondern es ist als Ganzes - als eine Zahl - aufzufassen, die zur Fakultät zu nehmen ist!

Daher ist
(2n)! = 1*2*3*....(n-1)*n*(n+1)*(n+2)*....(2n-1)*2n

Nach dem Kürzen bleibt durch n! bleibt
(n+1)*(n+2)*....(2n-1)*2n
übrig!

Gr
mYthos

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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 20:21:   Beitrag drucken

oh, ich dachte

(2n)! ist gleich:

2*4*6*8*...*2n

und dann habe ich 2 aus jedem Faktor herausgehoben..."schäm"

Also ist die Reihe nun doch divergent?!?!?!?

Danke mYthos und liebe Grüße gegen Süden
elsa

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3156
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 08:40:   Beitrag drucken

Hi elsa,

Man schleicht wie die Katze um den lauwarmen Brei
herum!
Verbal hat noch niemand konkret Stellung bezogen,
was da los ist.
Die nötigen Rechnungen sind zwar vollzogen, es fehlt
an der Stellungnahme: die Reihe divergiert!

Für den Nachweis braucht es kein Kriterium!
Die notwendige Bedingung für eine Konvergenz,
die Bedingung nämlich, dass lim an = 0 gilt
für n gegen unendlich,ist nicht erfüllt.
Das erkennst Du am Resultat der von Friedrich
durchgeführten Rechnung sehr schön.

Es reizt mich, das allgemeine Glied Deiner Reihe
in memoriam der Gammafunktion noch etwas umzuformen,
als Gag gewissermaßen.
Das Resultat meiner Bemühungen lautet:
an = [2^n *GAMMA(n + ½)] / [sqrt(Pi)*n*GAMMA(n)]
Dies ist asymptotisch gleich
2^n / [sqrt(Pi) * n], und das sagt alles.
Die Herleitung dieser merkwürdigen Beziehung kann ich
nachliefern.
Ich habe nicht einmal Stirling bemüht.

Numerische Werte:
n = 20 ergibt: an ~ 1314606941
n = 40 ergibt: an ~ 0.977723675 * 10^11

Liebe Grüsse gegen Osten (ex occidente lux)
Hans Rudolf Moser


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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1821
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 09:44:   Beitrag drucken

und H.R. Moser verstärkt und reflektiert es
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3158
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 09:57:   Beitrag drucken

Hi Friedrich

Danke für die Blumen !
Darf ich eine Bitte anbringen?
Könntest Du eine Figur zu meiner
Dreieksaufgabe 67 weiter oben herstellen;
ich habe die Situation mühsam mit Worten
beschrieben !

Besten Dank !

MfG
Hans Rudolf Moser
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 16:05:   Beitrag drucken

Inzwischen geht die Sonne schon wieder unter!
Und ich sage danke, werde das alles noch einmal durchdenken!

Osten grüßt Westen!

elsa

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