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Elsa13 (Elsa13)
Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 43 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 15:46: |
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Hi, hier ist noch ein Problemkind, bei dem ich nicht weiterkomme und mich sehr über Hilfe freue: Summe (0 bis unendlich) {( -1) ^ [n/2]}* 1/(n+1) wobei die eckige Klammer die Gauß-Klammer bedeutet, also größtes Ganzes von… Zu untersuchen ist das Konvergenzverhalten. liebe Grüße elsa
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 187 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 22:38: |
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Hi Elsa, fass doch die Summanden in Viererpäckchen zusammen, dann siehst du am besten was los ist: Der Vorzeichenterm wechselt nach je zwei Gliedern, d.h. man hat lauter Teilsummen der Form 1/(n+1) + 1/(n+2) - 1/(n+3) - 1/(n+4) oder umsortiert 2/((n+1)*(n+3)) + 2/((n+2)*(n+4)) und die konvergieren beide. |
Elsa13 (Elsa13)
Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 47 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 04:02: |
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Danke Sotux! so einfach ist das ... liebe Grüße elsa |
Elsa13 (Elsa13)
Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 48 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 15:59: |
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...aber nun taucht die Frage auf: Darf ich das überhaupt, so ohne weiteres umordnen? Und wenn ja, wie lautet die korrekte Begründung? liebe Grüße elsa |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 188 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 22:50: |
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Hi Elsa, gute Frage ! So ganz ohne Vorsicht darf man sowas tatsächlich nicht machen. Wir sind aber in diesem Fall auf der sicheren Seite: Wir haben ja nur wenige Werte lokal zusammengefasst, und die Absolutbeträge gehen schön monoton gegen Null. Wenn du eine mehr formale Argumentation bevorzugst, wie wärs mit der folgenden Epsilontik: Sei eps>0 beliebig, dann existiert zu eps/5 ein ein n1, so dass die Partialsummen der Viererblöcke für n>=n1 alle in der eps/5 Umgebung des Grenzwertes liegen. Weiter existiert ein n2 so dass 1/(n+1)<eps/5 für alle n>=n2. Wenn ich nun neps=max(n1,n2) wähle, dann ist der Abstand vom Grenzwert für alle Partialsummen mit n>=neps kleiner als eps (Dreiecksungleichung mit der nächstgelegenen Vierersumme). Alternativ könnte man auch nur je zwei Glieder zusammenfassen; da gibt es einen schönen Satz über die Konvergenz von alternierenden Reihen, deren Absolutbeträge monoton gegen 0 fallen, kennt ihr den ? Das ist fast noch eleganter und epsilonfrei ! |
Elsa13 (Elsa13)
Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 50 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 03:49: |
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Hi Sotux, zuerst einmal danke für die Antwort! Ich denke drüber nach und melde mich später wieder. Die wesentlichen Sätze kenne ich so ziemlich alle, nur mit der Anwendung hapert es! liebe Grüße elsa |