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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3132
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 09:04: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 125 handelt von der Durchdringungskurve
zweier Zylinder, die durch ihre Koordinatengleichungen
wie folgt gegeben sind:
Zylinder Z1 : y ^ 2 + (z - x) ^2 – 2 r (z - x) = 0
Zylinder Z2 : x ^ 2 + y ^2 = r ^ 2
r ist eine gegebene positive Konstante.
Beweise, dass die Durchdringungskurve in einen Kreis und in
eine Ellipse zerfällt.
Wie lauten die Koordinatengleichungen der Ebenen, in denen
diese Einzelkurven liegen?
Welches sind die Halbachsen der Ellipse?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 725
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 14:23: |
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Megamath,
Ich schreibe
Z2 : y2 + (z-x-r)2 = r2.
Daraus resultiert für Z2 die 2-parametrige Darstellung
r = r (0,cos t, 1+sin t) + s (1,0,1) , t € [0,2p[,
s € R. Dies mit der Gleichung von Z1 kombiniert
ergibt
s2 + r2 cos2 t = r2 =>
r cos t = ± sqrt(r2-s2) , r sin t = ± s
Man hat als Parameterdarstellung der Schnittmenge
also
r = (s, ± sqrt(r2-s2), s±s + r).
Wählen wir in der z-Komponente das Minuszeichen,
so erhalten wir den in der Ebene z = r liegenden Kreis
x2+y2 = r2.
Wählen wir das + - Zeichen, so ergibt das die
Ebene z = 2x + r, und die Projektion der Schnittkurve auf die Ebene z=0 ist der Kreis x2+y2=r2.
Der Winkel a zwischen beiden genannten Ebenen ist a = arctan 2 =>
cos a = 1/sqrt(5). Die Halbachsen der Schnittellipse sind somit a = r*sqrt(5), b = r.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3133
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 14:29: |
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Hi Orion,
Deine Lösung gefällt mir sehr; sie ist natürlich richtig !
MfG
H.R.Moser.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3136
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 20:23: |
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Hi allerseits
Ich möchte als Aufgabensteller auch noch meine
eher rustikale Lösung vorstellen,
die sehr schnell zum Ziel führt.
Aus den gegebenen Gleichungen eliminieren wir y;
Resultat:
r^2 + z^2 -2 x z – 2 r z + 2 r x = 0
Die linke Seite zerlegen wir in Linearfaktoren;
damit entsteht die Gleichung
(- z + r ) * ( r +2 x – z ) = 0
Wir erkennen den Zerfall in zwei lineare Gleichungen,
die je eine Schnittebene darstellen:
Ebene E1 : z = r ; E1 parallel zur (x,y)-Ebene: Kreisschnitt
Ebene E2 : z = 2 x + r; E2 senkrecht (x,z)-Ebene: elliptischer Schnitt
Die Ebene E2 hat die Achsenabschnitte - ½ r auf der x-Achse
und r auf der z-Achse.
Die grosse Halbachse u der Ellipse ergibt sich als doppelter Wert
der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten
½ r und r, somit u = r sqrt(5) .
die kleine Halbachse v stimmt mit dem Radius des Rotationszylinders
überein, also v = r.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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