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Lockere Folge 115 : Konvergenz einer ...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3094
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 16:57:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 115
Die nachstehende unendliche Reihe ist wohlbekannt,
und ihre Summe ist es noch mehr!
Das allgemeine Glied a(n) lautet:
a(n) = 1/n – ln (1+1/n),
summiert wird von n = 1 bis unendlich.

Man beweise die Konvergenz der Reihe!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 947
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi megamath,

a(n) = 1/n - ln(1+1/n)

Ich beginne mit meinem Beweis mit der bekannten(??) Ungleichungskette:

(1+1/n)^n < e < (1+1/(n+1))^(n+1)

Durch logarithmieren der linken Seite erhalten wir:

ln(1+1/n) < 1/n

auf der rechten Seite:

1/(n+1) < ln(1+1/n)

Daraus folgern wir:

0 < a(n) < 1/n - 1/(n+1)

Die Summe s(n) = a1 + a2... ist wegen a(n)>0 wachsend und wegen:

s(n) < (1-1/2)+(1/2 - 3/2)...+(1/n-1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1) < 1 beschränkt! Sie muss also konvergieren!!

Betrachten wir nun t(n) = 1 + 1/2 +....+ 1/n, so gilt:

s(n) = (1-ln(2))+(1/2-ln(1,5))... = t(n)-ln(n+1)!

Also existiert lim n->inf (t(n)-ln(n+1))!

Und das ist die gute alte bekannte Eulersche Konstante C ~ 057721...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3095
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 20:06:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,


genau so war das auch gemeint;Glückwunsch.
Eine gute alte Bekannte von uns,von der wir aber,
wie üblich,nicht ALLES wissen, siehe
Transzendenz!*
Auch als Integral lässt sich C darstellen,z.B. so:
C = - GAMMA´(1)
aber das ist wieder eine andere Geschichte,von der
wir später vielleicht einmal hören.

MfG
H.R.Moser,megamath


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