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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3094 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 16:57: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 115 Die nachstehende unendliche Reihe ist wohlbekannt, und ihre Summe ist es noch mehr! Das allgemeine Glied a(n) lautet: a(n) = 1/n – ln (1+1/n), summiert wird von n = 1 bis unendlich. Man beweise die Konvergenz der Reihe! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 947 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 19:10: |
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Hi megamath, a(n) = 1/n - ln(1+1/n) Ich beginne mit meinem Beweis mit der bekannten(??) Ungleichungskette: (1+1/n)^n < e < (1+1/(n+1))^(n+1) Durch logarithmieren der linken Seite erhalten wir: ln(1+1/n) < 1/n auf der rechten Seite: 1/(n+1) < ln(1+1/n) Daraus folgern wir: 0 < a(n) < 1/n - 1/(n+1) Die Summe s(n) = a1 + a2... ist wegen a(n)>0 wachsend und wegen: s(n) < (1-1/2)+(1/2 - 3/2)...+(1/n-1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1) < 1 beschränkt! Sie muss also konvergieren!! Betrachten wir nun t(n) = 1 + 1/2 +....+ 1/n, so gilt: s(n) = (1-ln(2))+(1/2-ln(1,5))... = t(n)-ln(n+1)! Also existiert lim n->inf (t(n)-ln(n+1))! Und das ist die gute alte bekannte Eulersche Konstante C ~ 057721... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3095 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 20:06: |
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Hi Ferdi, genau so war das auch gemeint;Glückwunsch. Eine gute alte Bekannte von uns,von der wir aber, wie üblich,nicht ALLES wissen, siehe Transzendenz!* Auch als Integral lässt sich C darstellen,z.B. so: C = - GAMMA´(1) aber das ist wieder eine andere Geschichte,von der wir später vielleicht einmal hören. MfG H.R.Moser,megamath
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