Autor |
Beitrag |
Nougatmaus (Nougatmaus)
Junior Mitglied Benutzername: Nougatmaus
Nummer des Beitrags: 18 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:29: |
|
Ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe. Zeige, dass zwei nilpotente Matrizen der Ordnung 3 ähnlich sind dann und nur dann, wenn sie denselben Nilpotenzindex besitzen. Zeige am Beispiel, dass diese Aussage nicht richtig ist für nilpotente Matrizen der Ordnung 4. Danke N.mausi |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 902 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 09:15: |
|
Hi! Ich kann zumindest mal anfangen. Wir haben zwei Matrizen A und B, die nilpotent mit Index m bzw. n sind. Die zu beweisende Aussage für die Ordnung 3 lautet: Es existiert ein invertierbares S mit S-1AS = B <=> m=n. (Ich denke mal, dass die Richtung "=>" für alle Ordnungen gilt, nur eben nicht die andere Richtung.) Beweis: "=>" 0 = Am = (SBS-1)m = (SBS-1)(SBS-1)...(SBS-1) = SB(S-1S)B(S-1S)...(S-1S)BS-1 = SBEBE...EBS-1 = SBmS-1 = 0 Also: m ³ n, da Bm=0 0 = Bn = (S-1AS)n = (S-1AS)(S-1AS)...(S-1AS) = S-1A(SS-1)A(SS-1)...(SS-1)AS = S-1AEAE...EAS = S1AnS = 0 Also auch: n ³ m, da An=0. Insgesamt gilt also: m = N, unabhängig von der Ordnung von A und B. "<=" Es gibt im Wesentlichen nur die zwei Nilpotenzindizes 2 und 3 (1 ist trivial -> Nullmatrix!). Hier muss ich zugeben, dass mir nicht ganz klar ist, wie ich begründe, dass ich zu jedem Paar (A,B) auch ein S finde mit A=SBS-1... Vielleicht fällt dir etwas ein. Nun wollen wir zeigen, dass die Rückrichtung für die Ordnung 4 nicht gilt: Sei A eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzindex 4. Nun bilden wir zwei neue Matrizen: B := A2 und C := A3. Es ist klar, dass sowohl B als auch C den Nilpotenzindex 2 haben, denn: B2 = (A2)2 = A4 = 0 C2 = (A3)2 = A6 = A4A2 = 0*A2 = 0 Da B und C jedoch unterschiedlichen Rang haben, können sie gar nicht ähnlich sein, denn das würde erfordern, dass S singulär ist, was wiederum mit sich brächte, dass S nicht invertierbar wäre. Also gibt es kein solches S => B und C sind nicht ähnlich, obwohl sie denselben Nilpotenzindex besitzen. Wie gesagt, die Richtung "<=" des Beweises wollte mir irgendwie nicht einfallen. Aber es wird nichts Schweres sein. Ist nur das Brett vor meinem Kopf... MfG Martin
________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
|
|