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Nilpotente Matrizen

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Nougatmaus (Nougatmaus)
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Junior Mitglied
Benutzername: Nougatmaus

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:29:   Beitrag drucken

Ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe.

Zeige, dass zwei nilpotente Matrizen der Ordnung 3 ähnlich sind dann und nur dann, wenn sie denselben Nilpotenzindex besitzen. Zeige am Beispiel, dass diese Aussage nicht richtig ist für nilpotente Matrizen der Ordnung 4.

Danke N.mausi
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 902
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 09:15:   Beitrag drucken

Hi!

Ich kann zumindest mal anfangen.
Wir haben zwei Matrizen A und B, die nilpotent mit Index m bzw. n sind.
Die zu beweisende Aussage für die Ordnung 3 lautet:

Es existiert ein invertierbares S mit S-1AS = B <=> m=n.

(Ich denke mal, dass die Richtung "=>" für alle Ordnungen gilt, nur eben nicht die andere Richtung.)

Beweis:
"=>"
0 = Am = (SBS-1)m
= (SBS-1)(SBS-1)...(SBS-1)
= SB(S-1S)B(S-1S)...(S-1S)BS-1
= SBEBE...EBS-1
= SBmS-1 = 0
Also: m ³ n, da Bm=0

0 = Bn = (S-1AS)n
= (S-1AS)(S-1AS)...(S-1AS)
= S-1A(SS-1)A(SS-1)...(SS-1)AS
= S-1AEAE...EAS
= S1AnS = 0
Also auch: n ³ m, da An=0.

Insgesamt gilt also: m = N, unabhängig von der Ordnung von A und B.


"<="
Es gibt im Wesentlichen nur die zwei Nilpotenzindizes 2 und 3 (1 ist trivial -> Nullmatrix!).
Hier muss ich zugeben, dass mir nicht ganz klar ist, wie ich begründe, dass ich zu jedem Paar (A,B) auch ein S finde mit A=SBS-1...
Vielleicht fällt dir etwas ein.



Nun wollen wir zeigen, dass die Rückrichtung für die Ordnung 4 nicht gilt:
Sei A eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzindex 4.
Nun bilden wir zwei neue Matrizen:
B := A2 und
C := A3.

Es ist klar, dass sowohl B als auch C den Nilpotenzindex 2 haben, denn:
B2 = (A2)2 = A4 = 0
C2 = (A3)2 = A6 = A4A2 = 0*A2 = 0

Da B und C jedoch unterschiedlichen Rang haben, können sie gar nicht ähnlich sein, denn das würde erfordern, dass S singulär ist, was wiederum mit sich brächte, dass S nicht invertierbar wäre. Also gibt es kein solches S => B und C sind nicht ähnlich, obwohl sie denselben Nilpotenzindex besitzen.


Wie gesagt, die Richtung "<=" des Beweises wollte mir irgendwie nicht einfallen. Aber es wird nichts Schweres sein. Ist nur das Brett vor meinem Kopf...


MfG
Martin


________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei

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