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Beitrag |
    
Nougatmaus (Nougatmaus)
Junior Mitglied
Benutzername: Nougatmaus
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 14:03: | 
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Sei A€K^n,n eine reguläre Matrix und sei PA(x) das charakt. Polynom von A. Definiere dieses Polynom
g(x)=(-x)^n*1/(det A)*PA*(1/x)
und zeige, dass
1. g(A^-1)=0;
2. g(x) das charakt.Polynom von A^-1 ist.
MfG
N.mausi |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 703
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 08:12: |
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mausi,
Die Definition von pA(x) lautet
pA(x) := det (A-x E) ; E:= Einheitsmatrix.
Man lernt den Satz von Cayley-Hamilton :
pA(A) = 0.
Rechne jetzt nach, dass
pA(1/x) = det (A - (1/x) E)
= (1/x)n *det(A)*det(xE - A-1)
= (- 1/x)n*det(A)*det(A-1 - xE) ==>
det((A-1 - x E) = pA-1(x) =
(-x)n* 1/det(A) * pA(1/x) = g(x).
Wiederum nach Cayley-Hamilton ist g(A-1)=0.
Beachte, dass bei diesen Umformungen die
Rechenregeln für Determinanten benutzt wurden,
insbesondere
det (AB) = det(A)*det(B)
det (lA) = ln det(A) .
mfG Orion
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