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Konvergenzverhalten prüfen

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Mira13 (Mira13)
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Mitglied
Benutzername: Mira13

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 20:50:   Beitrag drucken

Hallo

Ich habe eine unendliche Reihe auf
Konvergenz zu überprüfen.
Das allgemeine Glied lautet:
a(n) = 1 / n^(s); s ist eine positive Zahl, und der
Summationsindex läuft von n = 1 bis unendlich
Kann mir jemand helfen?

Besten Dank im Voraus

Mit freundlichen Grüßen
Mira

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2965
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 21:40:   Beitrag drucken

Hi Mira,

Verwende zum Nachweis den Verdichtungssatz
von Cauchy.
Du findest den Satz in Lehrbüchern,
z.B im Lehrbuch der Analysis
von Harro Heuser,Teil 1, 14.Auflage,p.203


Die Voraussetzungen des Satzes sind erfüllt:
Für s >0 sind die Glieder nicht negativ
Und nehmen monoton ab.
Das allgemeine Glied der verdichteten Reihe lautet
b(n) = 2^n / (2^n)^s = 1 / [2 ^ (s-1)]^ n
Es liegt damit eine geometrische Reihe vor; Quotient
q = q(s) = 1 /2 ^ (s - 1) = 2 ^ (1 – s ) ;
diese Reihe und damit die gegebene Reihe,
konvergiert genau dann, wenn q < 1, d.h. für s > 1.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mira13 (Mira13)
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Mitglied
Benutzername: Mira13

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 08:23:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Herzlichen Dank für Deine Hilfe.
Ich konnte davon viel profitieren.
Die zitierte Stelle im Heuser habe ich auch gefunden!

mfg
Mira

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