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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2842
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 13:15: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 69 geht es nochmals um die
Ermittlung einer Enveloppe.
P(u/v) ist ein laufender Punkt einer Lemniskate,
deren Polarkoordinatendarstellung gegeben ist:
r = a wurzel (cos 2phi).
Die Gerade h steht in P senkrecht auf der
Ursprungsgeraden OP.
Gesucht wird die Enveloppe der Geradenschar h.
Anmerkung
Die Herleitung einer Koordinatengleichung
der Hüllkurve bietet gewisse Schwierigkeiten.
Ich wäre dankbar für einen gangbaren
Lösungsweg.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2848
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 10:05: |
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Hi allerseits
Als eine kleine Hilfe zur Lösung dieser schwierigen Aufgabe
LF 69 sollen die folgenden Ausführungen über Kurven, die in
Polarkoordinaten gegeben sind, dienen.
Diese Gleichung sei r = r (phi) .
Für den Punkt P(u/v) gilt dann: u = r cos (phi) , v = r sin (phi)
Die Gleichung der Geraden h lautet:
y – v = - u / v ( x – u ) , also
y = - x cot (phi) + r / sin(phi)
phi spielt die Rolle des Parameters ,nach dem partiell
abzuleiten ist.
usw.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 670
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 15:14: |
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Hallo megamath,
Ist u = u(t) , v = v(t) eine Parameterdarstellung der
Kurve, so ist
h : (x-u)u + (y-v)v = 0
Leitet man dies partiell nach t ab, so hat man
(x-u)u'+ (y-v)v' = uu'+vv'
Dieses Gleichungssystem löst man nach x,y auf :
x = u + v(uu'+vv')/(u'v-uv')
y = v - u(uu'+vv')/(u'v-uv')
und hätte damit schon mal eine Parameterdarstellung der Eneloppe der Geradenschar.
Ich wähle (um die trigonometriwschen Funktionen zu vermeiden) t := tan j als Parameter, dann wird
u = f(t) :=a*sqrt(1-t2)/(1+t2) , v = t*f(t).
Probe: (u2+v2)2=a2(u2-v2).
Leicht rechnet man
u' = f'(t) = a/(1+t2)sqrt(1-t2)
v' = f(t)+t*f'(t) = a(1+t-t2)/(1+t2)sqrt(1-t2)
Möglicherweise ist der weitere Weg rechnerisch noch
ziemlich dornenvoll. Vielleicht findet sich eine schwache Stunde...
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2851
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 15:36: |
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Hallo Orion
Besten Dank für Deine Bemühungen.
Aus früheren Zeiten kenne ich die Lösung
(mit Vorbehalt!):
Die gesuchte Enveloppe ist die Hyperbel
x^2 – y^2 = a^2.
Die Herleitung haben die Motten vertilgt!
Wir können eine Rekonstruktion später versuchen.
Ich weiß nur noch, dass ich mit trigonometrischen
Funktionen laboriert habe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 671
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 15:55: |
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Ja, bei u',v' gab's natürlich mal wieder einen
Rechenfehler :
u' = a(3t-t3)/(1+t2)sqrt(1-t2)
Today is not my day...
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2852
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 16:09: |
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Hi Orion
Nach diesem relativen Minimum ist morgen ein Maximum zu erwarten.
Bis dann !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 672
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 18:04: |
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Hallo,
Wenn man die Rechnung etwas besser organisiert,
kommt alles gut heraus:
Kürze ab
Q:=uu'+vv'=(1/2)(d/dt)(u2+v2) =>
Q = 2a2t/(1+t2)2.
Ferner ist wegen v=tu
uv'-u'v = u2
u',v' benötigt man nicht explizit! Auflösung nach x,y
ergibt nun
x = (u2-tQ)/u , y = (tu2+Q)/u
Damit verifiziert man mit leicht (abhängig von der
Tageskondition)
x2 - y2 = a2
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2854
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 08:25: |
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Hi Orion
Es hat doch noch funktioniert, und wie!
Um die Ehre der trigonometrischen Funktionen zu retten,
folgen noch zwei Angaben bezüglich
x = x(phi) und y = y(phi)
Nach mühevoller Rechnung erhält man die Resultate:
x^2 = a^2 (cos(phi))^2 / cos (2 phi)
y^2 = a^2 (sin(phi))^2 / cos (2 phi)
Daraus folgt:
x^2 – y ^2 = a ^2
MfG
H.R.Moser,megamath
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