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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2842 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 13:15: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 69 geht es nochmals um die Ermittlung einer Enveloppe. P(u/v) ist ein laufender Punkt einer Lemniskate, deren Polarkoordinatendarstellung gegeben ist: r = a wurzel (cos 2phi). Die Gerade h steht in P senkrecht auf der Ursprungsgeraden OP. Gesucht wird die Enveloppe der Geradenschar h. Anmerkung Die Herleitung einer Koordinatengleichung der Hüllkurve bietet gewisse Schwierigkeiten. Ich wäre dankbar für einen gangbaren Lösungsweg. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2848 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 10:05: |
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Hi allerseits Als eine kleine Hilfe zur Lösung dieser schwierigen Aufgabe LF 69 sollen die folgenden Ausführungen über Kurven, die in Polarkoordinaten gegeben sind, dienen. Diese Gleichung sei r = r (phi) . Für den Punkt P(u/v) gilt dann: u = r cos (phi) , v = r sin (phi) Die Gleichung der Geraden h lautet: y – v = - u / v ( x – u ) , also y = - x cot (phi) + r / sin(phi) phi spielt die Rolle des Parameters ,nach dem partiell abzuleiten ist. usw. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 670 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 15:14: |
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Hallo megamath, Ist u = u(t) , v = v(t) eine Parameterdarstellung der Kurve, so ist h : (x-u)u + (y-v)v = 0 Leitet man dies partiell nach t ab, so hat man (x-u)u'+ (y-v)v' = uu'+vv' Dieses Gleichungssystem löst man nach x,y auf : x = u + v(uu'+vv')/(u'v-uv') y = v - u(uu'+vv')/(u'v-uv') und hätte damit schon mal eine Parameterdarstellung der Eneloppe der Geradenschar. Ich wähle (um die trigonometriwschen Funktionen zu vermeiden) t := tan j als Parameter, dann wird u = f(t) :=a*sqrt(1-t2)/(1+t2) , v = t*f(t). Probe: (u2+v2)2=a2(u2-v2). Leicht rechnet man u' = f'(t) = a/(1+t2)sqrt(1-t2) v' = f(t)+t*f'(t) = a(1+t-t2)/(1+t2)sqrt(1-t2) Möglicherweise ist der weitere Weg rechnerisch noch ziemlich dornenvoll. Vielleicht findet sich eine schwache Stunde...
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2851 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 15:36: |
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Hallo Orion Besten Dank für Deine Bemühungen. Aus früheren Zeiten kenne ich die Lösung (mit Vorbehalt!): Die gesuchte Enveloppe ist die Hyperbel x^2 – y^2 = a^2. Die Herleitung haben die Motten vertilgt! Wir können eine Rekonstruktion später versuchen. Ich weiß nur noch, dass ich mit trigonometrischen Funktionen laboriert habe. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 671 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 15:55: |
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Ja, bei u',v' gab's natürlich mal wieder einen Rechenfehler : u' = a(3t-t3)/(1+t2)sqrt(1-t2) Today is not my day... mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2852 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 16:09: |
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Hi Orion Nach diesem relativen Minimum ist morgen ein Maximum zu erwarten. Bis dann ! MfG H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 672 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 18:04: |
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Hallo, Wenn man die Rechnung etwas besser organisiert, kommt alles gut heraus: Kürze ab Q:=uu'+vv'=(1/2)(d/dt)(u2+v2) => Q = 2a2t/(1+t2)2. Ferner ist wegen v=tu uv'-u'v = u2 u',v' benötigt man nicht explizit! Auflösung nach x,y ergibt nun x = (u2-tQ)/u , y = (tu2+Q)/u Damit verifiziert man mit leicht (abhängig von der Tageskondition) x2 - y2 = a2
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2854 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 08:25: |
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Hi Orion Es hat doch noch funktioniert, und wie! Um die Ehre der trigonometrischen Funktionen zu retten, folgen noch zwei Angaben bezüglich x = x(phi) und y = y(phi) Nach mühevoller Rechnung erhält man die Resultate: x^2 = a^2 (cos(phi))^2 / cos (2 phi) y^2 = a^2 (sin(phi))^2 / cos (2 phi) Daraus folgt: x^2 – y ^2 = a ^2 MfG H.R.Moser,megamath
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