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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 17:02: |
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Hallo Ich habe nochmals eine Aufgabe, bei der ich zu keinem Ziel komme. Sie lautet: Man untersuche das Konvergenzverhalten und berechne allenfalls den Grenzwert der Folge, deren allgemeines Glied xn lautet: xn = summe [1 / sqrt (n^2 + k)] ; k läuft von 1 bis n. Vielen Dank im Voraus. Mit freundlichen Grüßen Emil K.
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 101 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 17:34: |
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sqrt(n2+1) £ sqrt(n2+k) £ sqrt(n2+n) 1 / sqrt(n2+n) £ 1 / sqrt(n2+k) £ 1 / sqrt(n2+1) Sn k=1 1 / sqrt(n2+n) £ xn £ Sn k=1 1 / sqrt(n2+1) n / sqrt(n2+n) £ xn £ n / sqrt(n2+1) Zähler und Nenner in den beiden Brüchen durch n dividieren: 1 / sqrt(1+(1/n)) £ xn £ 1 / sqrt(1+(1/n2)) Sowohl der Term links, als auch der rechts konvergieren gegen 1. Ihr hattet in der Vorlesung einen Satz: an £ bn £ cn und an und cn konvergent Þ bn konvergent Dieser Satz garantiert, dass xn konvergiert. Ihr hattet in der Vorlesung einen weiteren Satz: an £ bn £ cn Þ lim an £ lim bn £ lim cn wenn diese Grenzwerte alle existieren. Dieser Satz garantiert, dass lim xn = 1. werbungsfriedhof@hotmail.com |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2810 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 18:19: |
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Hi Emil, Die Konvergenz der Foge könnte dadurch nachgewiesen werden, indem man nachweist, dass sie monoton wachsend und beschränkt ist. Wir gehen anders vor. Wir schließen das allgemeine Glied xn der Folge in einem Sandwich ein: Wir suchen nach Gliedern a(n) und b(n) neuer Folgen, so dass für allen n a(n) < xn < b(n) gilt und zwar derart, dass a(n) und b(n) den gemeinsamen Grenzwert g haben. Es wird sich herausstellen, dass g = 1 gilt, so dass der gesuchte Grenzwert der gegebenen Folge ebenfalls eins ist. Aber der Reihe nach: Für a(n) wählen wir a(n) = sum [1/sqrt(n^2 + n)], beachte: der Summationsindex ist k, nicht n; dabei läuft k von 1 bis n. Somit: a(n) = n / sqrt(n^2 + n)] = 1/ sqrt(1 + 1/n)] a(n) strebt gegen 1 für n gegen unendlich. Für b(n) wählen wir b(n) = sum [1/sqrt(n^2)], beachte: der Summationsindex ist k,nicht n; dabei läuft k von 1 bis n. Somit: b(n) = n / sqrt(n^2 )] = n / n = 1 (konst) a(n) strebt gegen 1 für n gegen unendlich. Id est !
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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 18 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 18:33: |
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Hallo Carpediem,hallo Megamath Ich danke Euch Beiden für die Hilfen. Ich begrüsse es,zwei verschieden Lösungswege zur selben Sache zu erfahren. Es gibt dabei zum Glück einen nicht leeren Durchschnitt. MfG Emil K. |
Theresia10 (Theresia10)
Mitglied Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 35 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2006 - 20:13: |
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Hi, ich habe bei den Folgen a(n) und b(n) ein Verständnisproblem. Wenn megamath schreibt (und auch carpediem): ************* Für a(n) wählen wir a(n) = sum [1/sqrt(n^2 + n)], beachte: der Summationsindex ist k, nicht n; dabei läuft k von 1 bis n. Somit: a(n) = n / [sqrt(n^2 + n)] = 1/ sqrt(1 + 1/n)] ************* … dann ist also k der Summationsindex. Aber k kommt ja nicht vor im Summanden! Und herauskommt: n / [sqrt(n^2 + n)], also n mal der Summand, das will mir nicht einleuchten. Ich bin dankbar für eine Erklärung! theresia |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 832 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2006 - 10:13: |
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Hi Theresia, das ist ja gerade das hilfreiche, dass k in den unteren und oberen Schranken nicht auftaucht, deshalb sind die Summanden alle gleich und man kann die Summe einfach durch Multiplikation mit der Anzahl bekommen. Das k taucht nur bei dem gesuchten Term in der Mitte der Abschätzung auf und sorgt da für etwas Unübersichtlichkeit. sotux |
Theresia10 (Theresia10)
Mitglied Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 36 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2006 - 10:13: |
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Hallo, sotux, danke für die Antwort! Das große AHA-Erlebnis ist es zwar noch immer nicht, wenn ich in der Ungleichungskette den mittleren Teil ja tatsächlich aufsummiere, die Randteile aber eben n mal rechne, doch ich nehme es zur Kenntnis und versuche es setzen zu lassen! theresia |