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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2762
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 17:26: | 
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Hi allerseits
Die Nr. 53 der Lockeren Folge lautet:
Man stelle das Produkt
P(n) = product [ a(k) ], k läuft von 2 bis n.
für a(k) = ( k^3 - 1) / (k^3 + 1)
in geschlossener Form dar.
Wie lautet der Wert des entsprechenden unendlichen
Produkts,wenn es existiert?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2766
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 11:49: |
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Hi allerseits,
Die folgenden Bemerkungen sollen als Lösungshilfen
dienen:
Zerlege den Zähler und Nenner je in ein Produkt:
k ^ 3 - 1 = ( k – 1 ) * Q1(k)
k ^ 3 + 1 = ( k + 1 ) * Q2(k)
Q1(k) und Q2(k) sind quadratische Funktionen in k.
Benütze ferner an geeigneter Stelle die Identität
(k+1)^2 – (k+1) + 1 = k^2 + k + 1
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamaht
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2769
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 15:39: |
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Hi allerseits
Es kann auch zur Lösung dieser Aufgabe dienlich sein,
das Resultat anzuschreiben.
Das endliche Produkt ist :
P(n) = 2/3 * (n^2+n+1) / [n(n+1)]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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