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Andre (rehtnap)
Neues Mitglied
Benutzername: rehtnap
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 20:41: | 
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Moin allerseits,
ich habe schon versucht mit Substitution ans Ziel zu kommen (x=arcsin(t)). Allerdings kommt dann in der späteren Partialbruchzerlegung nur Schwachsinn raus.
Wäre dankbar, wenn mir einer einen korrekten Ansatz für dieses Problem nennen könnte (ist für ne Klausurvorbereitung).
so long... |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 635
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 08:35: |
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Andre,
Hinweis:
Der Integrand ist von der Form R(cos x, sin x),R eine
rationale Funktion. Die Standard-Substitution für solche
Fälle lautet
x = 2 arctan(t/2) ==> dx = 2 dt /(1+t2).
Danach wird der Integrand eine rationale Funktion in t.
Im vorliegenden Fall erhältst du
2*int[dt/(t2+t+1)(1+t2)]dt =
2*int[(t+1)/(t2+t+1) - 1/(1+t2)]dt
Schwierigkeiten bereitet allenfalls noch
int[(t+1)/(t2+t+1)]dt. Beachte dazu, dass
t2+t+1 = (3/4)(u2+1) mit u:=(2t+1)/sqrt(3).
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 636
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 16:21: |
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Bei folgender Variante spart man ein wenig Rechenarbeit: Zerlege den Integranden in
1/(2+sin x) + cos x /(2+sin x).
Integration des ersten Summanden ergibt mit obiger
Methode
(2/sqrt(3))*arctan[(2 tan(x/2)+1)/sqrt(3)].
Das Integral des 2. Summanden erkennt man sofort
als
ln |2+sin x|.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 637
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 16:25: |
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Korrektur : Es muss natürlich heissen
x = 2 arctan t <=> t = tan (x/2), daher
cos x = (1-t2)/(1+t2) , sin x = 2t/(1+t2)
mfG Orion
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Andre (rehtnap)
Neues Mitglied
Benutzername: rehtnap
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 23:13: |
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dickes Dankeschön!
Ich lag wohl irgendwie ein bisschen neben der Spur...
so long... |
