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Andre (rehtnap)
Neues Mitglied Benutzername: rehtnap
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 20:41: |
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Moin allerseits, ich habe schon versucht mit Substitution ans Ziel zu kommen (x=arcsin(t)). Allerdings kommt dann in der späteren Partialbruchzerlegung nur Schwachsinn raus. Wäre dankbar, wenn mir einer einen korrekten Ansatz für dieses Problem nennen könnte (ist für ne Klausurvorbereitung). so long... |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 635 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 08:35: |
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Andre, Hinweis: Der Integrand ist von der Form R(cos x, sin x),R eine rationale Funktion. Die Standard-Substitution für solche Fälle lautet x = 2 arctan(t/2) ==> dx = 2 dt /(1+t2). Danach wird der Integrand eine rationale Funktion in t. Im vorliegenden Fall erhältst du 2*int[dt/(t2+t+1)(1+t2)]dt = 2*int[(t+1)/(t2+t+1) - 1/(1+t2)]dt Schwierigkeiten bereitet allenfalls noch int[(t+1)/(t2+t+1)]dt. Beachte dazu, dass t2+t+1 = (3/4)(u2+1) mit u:=(2t+1)/sqrt(3).
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 636 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 16:21: |
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Bei folgender Variante spart man ein wenig Rechenarbeit: Zerlege den Integranden in 1/(2+sin x) + cos x /(2+sin x). Integration des ersten Summanden ergibt mit obiger Methode (2/sqrt(3))*arctan[(2 tan(x/2)+1)/sqrt(3)]. Das Integral des 2. Summanden erkennt man sofort als ln |2+sin x|.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 637 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 16:25: |
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Korrektur : Es muss natürlich heissen x = 2 arctan t <=> t = tan (x/2), daher cos x = (1-t2)/(1+t2) , sin x = 2t/(1+t2) mfG Orion
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Andre (rehtnap)
Neues Mitglied Benutzername: rehtnap
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 23:13: |
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dickes Dankeschön! Ich lag wohl irgendwie ein bisschen neben der Spur... so long... |