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D S (juxdapoze)
Neues Mitglied
Benutzername: juxdapoze
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 17:56: | 
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Hi,benötige noch heute Hilfe für die wahrscheinlich recht einfache Aufgabe: (kanns sie einfach nicht gescheit lösen...ausser mit einem komplizierten Gleichungssystem)
a. 2*x^3 + 3*x^2 + u*x = 6 ; die 3 Lösungen bilden eine AR.
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 591
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 23:04: |
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Na, sooo recht einfach wieder auch net (sonst wär'n schon ein paar Antworten eingetrudelt), a bisserl Grips brauchst schon dazu ...
x³ + (3/2)x² + (u/2)*x - 3 = 0 lautet mal die Gleichung mit dem Koeffizienten 1 der höchsten Potenz von x.
Das Gleichungspolynom ergibt sich nach dem Fundamentalsatz der Algebra aus den drei Lösungen x1, x2, x3 wie folgt:
(x - x1)*(x - x2)*(x - x3) = 0
Nun multiplizieren wir dies aus und vergleichen die Koeffizienten mit denen im angegebenen Polynom:
x³ - (x1 + x2 + x3)*x² + (x1x2 + x1x3 + x2x3)*x - x1x2x3 = 0
Koeff.Vergleich:
----------------------------
x²: -(x1 + x2 + x3) = 3/2
x : x1x2 + x1x3 + x2x3 = u/2
const: -x1*x2*x3 = -3
----------------------------
Jetzt kommt die Tatsache ins Spiel, dass die 3 Zahlen x1, x2, x3 eine arithmetische Reihe bilden: Wir setzen
x1 = a - d
x2 = a
x3 = a + d
(a .. Mittelglied, d .. Differenz der a.R.)
Somit kommt
-3a = 3/2
(a - d)*a*(a + d) = 3
----------------------
-> a = - (1/2)
------------------------
-> (-1/2)*(a² - d²) = 3
(1/4) - d² = -6
d² = 25/4
d1 = 5/2; d2 = -5/2
Die drei Zahlen (Lösungen der kubischen Gleichung) heißen also x1 = -3, x2 = -1/2, x3 = 2 (mit d2 ergeben sich die selben nur in umgekehrter Reihenfolge)
Letztendlich kann man noch u berechnen:
x1x2 + x1x3 + x2x3 = u/2
3/2 - 6 - 1 = u/2
-> u = -11
Das vollständige Gleichungspolynom, das die 3 angegebenen Lösungen besitzt, lautet:
x³ + (3/2)x² -(11/2)*x - 3 = 0 bzw.
2x³ + 3x² - 11x - 6 = 0
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 18., Juni. 2003 von mythos2002 editiert) |
D S (juxdapoze)
Neues Mitglied
Benutzername: juxdapoze
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 12:17: |
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thx. Nein, so einfach is es wohl doch nicht Besonders für die 6. Klasse Gymi. |
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