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Maja (maja13)
Junior Mitglied
Benutzername: maja13
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 17:35: | 
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Hallo!!
Hab folgendes Problem, hoffe ihr könnt mir irgendwie helfen!
Eine geometrische zufällige Veränderliche X besitze die unabhängige Stichprobe (k_1,...,k_n) (bei der k_i-ten Wiederholung tritt der erste Erfolg auf). Bestimmte die Maximum Likelihood Schätzung für den unbekannten Paramter p der geometrischen Verteilung.
Ist diese Schätzung erwartungstreu? |
Stefan Ott (sotux)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juni, 2003 - 23:14: |
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Hallo Maja,
zumindest der Anfang der Aufgabe ist machbar:
Wenn P(X=k)=(1-p)^k*p ist, dann ist die gemeinsame Verteilung von n unabh. Versuchen
P(k1,...,kn)=Produkt von i=1 bis n von (1-p)^ki*p,
d.h. wenn man für die Summe der ki K schreibt hat man p^n*(1-p)^K.
Für den MLS musst du das Maximum suchen, also typischerweise nach p ableiten und nullsetzen.
Die Ableitung ist nach der Produktregel gerade
p^n*K*(1-p)^(K-1)*(-1) + n*p^(n-1)(1-p)^K. Das kann nur Null werden, wenn n*(1-p)-K*p Null ist,
d.h.p=n/(n+K) sollte der MLS sein.
Erwartungstreu dürfte das aber nicht sein, im Fall n=1 bekomme ich als Erwartungswert raus
Summe k=0 bis unendlich p*(1-p)^k/(1+k)
=p/(1-p)* Summe k=1 bis unendlich (1-p)^k/k
= p/(1-p)*(-ln(p)) |
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