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Volumen

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Peter Falk (columbooo123)
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Mitglied
Benutzername: columbooo123

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juni, 2003 - 18:04:   Beitrag drucken

Hallo!
Kann mir jemand hierbei helfen?
Man berechne das Volumen des Körpers, der von den angegebenen Flächen begrenzt wird:
x^2+y^2= z^2, x^2+y^2=3x
z>0
Die Lösung ist 12, aber ich komme nicht drauf.
Wie umgeht man das Dreifachintegral?
Wie sieht der Lösungsweg aus?
Bitte,
mfg
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1213
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juni, 2003 - 18:05:   Beitrag drucken

"Schnittlinie": x² aus 2ter Gl. in 1te eingesetz

(3x-y²)+y² = z², z = Wurzel(3x),

y² = z²-x² = 3x-x² = -(x - 3/2)² + (3/2)²

als untere Begrenzungslinie sehe ich also den Kreis
mit Mittelpunkt z=y=0, x= 3/2, Radius r = 3/2
über
den sich Volumselemente mit der Höhe Wurzel(3x),
der Breite dx und der Länge 2*Wurzel(r²-(x-r)²)
erheben,
Integrationsgrenzen 0 bis 2r
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 612
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 11:30:   Beitrag drucken

Hallo,

Die 1. Gleichung stellt einen Kegel mit Spitze
in (0,0,0) und Oeffnungswinkel p/2
dar, die zweite Gleichung einen geraden
Kreiszylinder mit Achse durch (3/2,0,0) parallel
zur z-Achse .

Betrachte die Schnittfläche des Kegels mit
einer Normalebene x=a zur x-Achse,
0<a<3. Sie wird begrenzt von z=0, den beiden
Vertikalen y = ±sqrt(3a-a2) und dergleichseitigen Hyperbel
z = sqrt(a2+y2). Ihr Inhalt beträgt

Q(a) =

2*ò0 sqrt(3a-a2) sqrt(a2+y2) dy

= a*sqrt(9-a)+a2*arcsinh[sqrt(3/a-1)].

Daher ist V = ò0 3 Q(a)da .

Maple liefert V = 12.

mfG Orion
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 613
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 15:28:   Beitrag drucken

Zusatzbemerkung:

Eine Stammfunktion von Q(a) lässt sich (mit ein wenig Geduld !) natürlich auch "von Hand" berechnen (partielle Integration im arcsinh-Integral). Prüfe nach, dass

int Q(a) = (1/27)w5 - (4/9)w3 - 3 w ,

w:= sqrt(9-3a).

So sollten wohl keine Wünsche offen bleiben.


mfG Orion

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