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Peter Falk (columbooo123)
Mitglied Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 23 Registriert: 03-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juni, 2003 - 18:04: |
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Hallo! Kann mir jemand hierbei helfen? Man berechne das Volumen des Körpers, der von den angegebenen Flächen begrenzt wird: x^2+y^2= z^2, x^2+y^2=3x z>0 Die Lösung ist 12, aber ich komme nicht drauf. Wie umgeht man das Dreifachintegral? Wie sieht der Lösungsweg aus? Bitte, mfg |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1213 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juni, 2003 - 18:05: |
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"Schnittlinie": x² aus 2ter Gl. in 1te eingesetz (3x-y²)+y² = z², z = Wurzel(3x), y² = z²-x² = 3x-x² = -(x - 3/2)² + (3/2)² als untere Begrenzungslinie sehe ich also den Kreis mit Mittelpunkt z=y=0, x= 3/2, Radius r = 3/2 über den sich Volumselemente mit der Höhe Wurzel(3x), der Breite dx und der Länge 2*Wurzel(r²-(x-r)²) erheben, Integrationsgrenzen 0 bis 2r Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 612 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 11:30: |
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Hallo, Die 1. Gleichung stellt einen Kegel mit Spitze in (0,0,0) und Oeffnungswinkel p/2 dar, die zweite Gleichung einen geraden Kreiszylinder mit Achse durch (3/2,0,0) parallel zur z-Achse . Betrachte die Schnittfläche des Kegels mit einer Normalebene x=a zur x-Achse, 0<a<3. Sie wird begrenzt von z=0, den beiden Vertikalen y = ±sqrt(3a-a2) und dergleichseitigen Hyperbel z = sqrt(a2+y2). Ihr Inhalt beträgt Q(a) = 2*ò0 sqrt(3a-a2) sqrt(a2+y2) dy = a*sqrt(9-a)+a2*arcsinh[sqrt(3/a-1)]. Daher ist V = ò0 3 Q(a)da . Maple liefert V = 12.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 613 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 15:28: |
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Zusatzbemerkung: Eine Stammfunktion von Q(a) lässt sich (mit ein wenig Geduld !) natürlich auch "von Hand" berechnen (partielle Integration im arcsinh-Integral). Prüfe nach, dass int Q(a) = (1/27)w5 - (4/9)w3 - 3 w , w:= sqrt(9-3a). So sollten wohl keine Wünsche offen bleiben.
mfG Orion
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