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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2123
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 17:16: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer XIX der lockeren Folge,
über eine Kurve in Polarkoordinatendarstellung.
Die Aufgabe lautet:
Die Gleichung r = a [sin(phi)]^2 , a>0, 0<= phi <= Pi
stellt eine Schlinge (engl.loop) dar; sie liegt im 1. und 2.
Quadrant, symmetrisch zur y-Achse.
Wie üblich, ist die x-Achse Polarachse und der Nullpunkt der
Pol des Systems.
a)
Man berechne die Fläche A, welche von der Kurve
umschlossen wird.
b)
Man berechne die Koordinaten desjenigen Punktes P der
Kurve im ersten Quadrant, dessen x-Koordinate am
größten ist.
Viel Vergnügen bei der Lösung
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 756
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 10:12: |
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Hi,
mein Vorschlag zu a)
Mit der Sektorformel von Leibniz erhalte ich:
A=(3*a²*p)/16
Bei b) bin ich schon länger am Rätseln. Handelt es sich um eine Extremwertaufgabe in Polarkoordinaten?
mfg
(Beitrag nachträglich am 06., Juni. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2124
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 13:42: |
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Hi Ferdi,
Das Resultat zu a) ist richtig!*
zu b)
Ich habe absichtlich den Schwierigkeitsgrad etwas erhöht und eine Frage gestellt,die in der Regel
nicht ohne Weiteres beantwortet wird.
Ich gebe einen Tipp für eine erste Lösungsmethode:
Wandle die Darstellung der Kurve um,
und schreibe sie in rechtwinklige Koordinaten
x,y an!
Leite die Relation implizit nach x ab und fordere,dass der Reziprokwert der 1.Ableitung,also 1/y´,null ist.
Das bringt Dich ein Stück voran.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 757
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 14:53: |
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Hi megamath,
ich glaube ich weiß worauf dieses Verfahren hinausläuft, aber mir gelingt es nicht eine Gleichung der Kurve in x,y-Koordinaten herzustellen!
Ich habe ja:
x=a*sin²(p)*cos(p)
y=a*sin³(p)
Meine Versuche enden wenn ich sin(p)=3Ö(y/a) in
x=a*sin²(p)*Ö(1-sin²(p)) einsetzen will, es ergibt sich keine Vernüftige Gleichung zum Differenzieren, oder ist das so erwünscht? Oder gibt es hier gar irgendein Additionstheorem das weiterhilft? Ein kleiner Tipp noch  ?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2125
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 15:24: |
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Hi Ferdi,
Als ein HINT sende ich Dir den Anfang meiner Lösung,
die ich im Köcher bereit halte; sie ist ein hit !*
Wir schreiben die gegebene Gleichung
r = a [sin(phi)]^2 in rechtwinklige
Koordinaten x,y um.
Dazu benützen wir die
Beziehungen r = sqrt(x^2 + y^2)
cos (phi) = x/r , sin (phi) = y/r.
Durchführung
r = a y^2 / r^2 ,daraus:
r^3 = a y^2 (merke diese Relation für später !*)
(x^2 + y^2 ) ^ (3/2) = a y ^2 , quadriert:
(x^2 + y^2 ) ^ 3 = a^2 * y^4
Jetzt kannst Du implicite differenzieren; achte dabei
auf die Kettenregel: aus y^2 entsteht z.B.
2 y y ´ etc.
Ich bin nun für ein paar Stunden wortsabwesend !
(Tipfehler: richtig: ortsabwesend)
In der Zwischenzeit überlasse ich Dir die entsprechenden Berechnungen.
Viel Erfolg
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 758
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 16:55: |
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Hi,
hier meine Ableitung:
(x²+y²)³=a²*y4
=> 3*(x²+y²)²*(2x+2yy')=4*a²*y³y'
Das löse ich nach y' auf:
6x*(x²+y²)²=4a²y³y'-6yy'*(x²+y²)²
6x*(x²+y²)²=y'*(4a²y³-6y*(x²+y²)²)
y'=6x*(x²+y²)²/(4a²y³-6y*(x²+y²)²)
So setze ich nun 1/y'=0 suche ich die Stellen an denen die Tangente eine Parallele zur y-Achse ist!
Man erhält (Rechenfehler vorbehalten):
4a²y³-6y*(x²+y²)²=0
Wie fahre ich nun hier fort? Das ist eine schwierige, aber auch interesante Aufgabe, ich merke jetzt auch warum du sie in Uni-Niveau gepostet hast ! Schade das Polarkoordinaten bei uns an der Schule nie erwähnt wurden.
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2126
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juni, 2003 - 18:02: |
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Hi Ferdi,
Die Ableitung ist richtig und die Bedingungsgleichung auch.
Ich werde die komplette Lösung bald ins Netz stellen.
Jedenfalls kannst Du beim Studium meiner Lösung einiges lernen,
und das ist die Hauptsache.
MfG |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 759
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 03:34: |
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Das glaube ich ungelogen! Was ich alleine von dir megamath hier im Board gelernt habe, das ist ja fast mehr als in der Schule ! Vorallem die LF-Aufgaben in den letzten Wochen, die machen richtig Spass!
In freudiger Erwartung auf die Lösung...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2127
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 07:33: |
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Hi allerseits,Hi Ferdi (Danke für das Kompliment
)
Erste Lösungsmethode zu LF XIX.
a)
Wir schreiben die gegebene Gleichung
r = a [sin(phi)]^2 in rechtwinklige
Koordinaten x,y um.
Dazu benützen wir die
Beziehungen r = sqrt(x^2 + y^2)
cos (phi) = x/r , sin (phi) = y/r.
b)
Dann leiten wir die Relation nach x
implizit ab.
Wir suchen diejenige Stelle x = xo heraus,
bei welcher die Ableitung y´unendlich wird,
d.h.es soll 1 / y´ = 0 gelten.
(geometrische Bedeutung: im Punkt P(xo/yo)
ist die Kurventangente parallel zur y-Achse).
Durchführung
Zu a)
r = a y^2 / r^2 ,daraus:
r^3 = a y^2
(x^2 + y^2 ) ^ (3/2) = a y ^2 ,quadriert:
(x^2 + y^2 ) ^ 3 = a^2 * y^4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zu b)
3 ( x ^2 + y ^2 )^2 * (2 x + 2 y y ´) =
4 a^2 y^3 * y´;
Auflösung nach y ´:
y´= [6x(x^2+y^2)^2]/[4a^2y^3-6y(x^2+y^2)^2]
Damit 1/y´null wird, setzen wir den Nenner, d.h. die zweite
eckige Klammer, null. Wir erhalten die Bedingung
4 a^2 * y^3 – 6 y * (x^2+y^2)^2 = 0 oder
2 a^2 * y^2 - 3 * (x^2+y^2)^2 = 0
Wir führen wieder r = (x^2+y^2)^½ ein:
Die Bedingung lautet dann:
2 a^2 * y^2 = 3 r^4………………………………………..(1)
Jetzt verwenden wir die Gleichung der gegebenen
Kurve in der Form, wie wir sie unter
a) benützt haben,nämlich:
r^3 = a * y^2, daraus
r = a^(1/3) * y ^(2/3).
Dies führt zusammen mit (1) auf
2 a^2 * y^2 = 3 [a^(4/3) * y^(8/3)]
Die Auflösung nach y liefert die Ordinate yo des
gesuchten Punktes P(xo/yo):
yo = [2/3]^1,5 * a ~ 0,544331*a
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für die zugehörigen Werte xo und ro gilt:
ro = 2/3 * a,
xo = 2/9 *a * sqrt(3) ~ 0,3849002 *a
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2128
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 12:43: |
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Hi
Ich führe eine zweite Lösungsmethode vor.
Dabei wird die folgende Formel benützt,
die ich bei Bedarf herleiten kann.
dy/dx = y´= [r + r´tan(phi)] / [ r´- r tan(phi)]
Dabei bedeuten r = r (phi) die
Polarkoordinatendarstellung einer gegebenen Kurve c;
r´ ist die Ableitung der Funktion r(phi) nach phi.
y=y(x) ist die Funktionsgleichung von c in rechtwinkligen
Koordinatenx,y
y´= dy/dx deren (erste) Ableitung.
Bei der Behandlung unserer Aufgabe mit dieser Methode
setzen wir den Nenner, d.h. die zweite eckigen Klammer
null.
Aus r´= r tan(phi) folgt mit r´= 2a sin(phi) cos(phi) nach
kurzer Rechnung
[tan(phi)]^2 = 2, daraus mit goniometrischen Formeln
[cos(phi)]^2 = 1/(1+2)= 1/3 und
[sin(phi)]^2 = 2/3.
Für den spitzen Winkel phi gilt dann
cos(phi) = 1/sqrt(3), sin(phi) = sqrt(2/3).
r = a [sin(phi)]^2 = 2a /3.
Schließlich
x = r cos(phi) = 2/9 a sqrt(3) ; y = 2/3 a sqrt(2/3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Damit ist diese Teilaugabe gelöst!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,meg
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 761
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 14:37: |
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Hi megamath!
Besten Dank für deine Lösung! Da hätte ich bestimt noch lange dran gerechnet !
Zu deiner Formel:
Ich habe letztens eine Herleitung gelesen, als ich die Polarkoordinaten entdeckte und im Zuge dessen eine Facharbeit darüber gelesen habe! Es ging mit Hilfe von Grenzwertsätzen etc. Am Ende stand dann die schöne Formel:
dy/dx=(r'*sin(p) + r*cos(p))/(r'*cos(p) - r*sin(p))
Obwohl ich sagen muss, dass deine Darstellung der Formel mir besser gefällt!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2131
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 15:55: |
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Hi Ferdi,
Die Formel, die ich in meiner letzten Arbeit zur Herleitung
der Teilaufgabe b) benötigte, ist offenbar doch bekannt.
Daher leite ich sie vorläufig nicht her!
Da wir sie nur zur Hälfte benötigten, leite
ich eine andere Beziehung her, die einfacher ist
und für unsere Zwecke ausreicht:
Wir gehen aus von der Darstellung für x
in Polarkoordinaten:
x = r * cos(phi) und bilden das Differential
dx dieser Funktion in zwei Variablen:
dx = cos(phi) * dr – r sin(phi) * d(phi)
Wir setzen, um unsere Idee der senkrechten Tangente
zu realisieren, dx = 0, und wir bekommen locker
dr/d(phi) = r´= r * tan(phi) wie ehedem !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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