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Grenzwerte für folgen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klasse 11 » Folgen und Reihen » Grenzwerte für folgen « Zurück Vor »

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leon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 22. August, 2005 - 11:47:   Beitrag drucken

Hallo,

ich bin grad ein bisschen durcheinander mit den grenzwerten für folgen und für funktionen.
aber vorerst noch etwas: was ist denn der unterschied zwischen einer funktion und einer folge??

ok, und jezt zu den grenzwerten. nehmen wir z. b. die funktion f(x)=(-2*x²+4x+6)/(x+1). da ist ja f(x) für x0=-1 nicht definiert. da kann man ja den grenzwert zu -1 ausrechnen, indem man die funktionswerte f(x)ausrechnet, die sich ja immer 8 nähern, wenn sich die x-Werte der Zahl -1 nähern.
aber warum kann man das nicht bei folgen?? z. b. die folge: an= 1-3/n². da ist ja an nicht für n0=0 bestimmt. aber wenn man das gleiche verfahren wie oben anwendet, kommt man auf komische ergebnisse...

wiss ihr was ich meine??

bitte helft mir, ich muss das unbedingt verstehen!!

leon
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1882
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. August, 2005 - 12:20:   Beitrag drucken

Hallo Leon

Begriff Funktion:
Seien X und Y zwei beliebige nicht-leere Mengen. Unter einer Funktion f versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x aus X eindeutig ein Element y aus Y zuordnet.

Für dein Beispiel oben können wir X=IR-{-1} (reelle Zahlen ohne -1) und Y=IR wählen.
Jedem x aus X wird dann eindeutig ein y=f(x) aus Y zugeordnet.

Nun siehst du vielleicht schon, dass Folgen ganz spezielle Funktionen sind. Bei Folgen ordnest du jeder natürlichen Zahl (X=IN in der Definition) einen Wert an zu(an sind meistens reelle Zahlen, also Y=IR).
Weil Folgen sehr wichtig sind haben sie einen eigenen Namen bekommen.

Es ist aber schon so, dass man meistens den Definitionsbereich der reellen Zahlen (X=IR) bis auf Definitionslücken hat, wenn man von einer Funktion spricht.
Funktionen sind also in der Regel etwas kontinuierliches bis auf vereinzelte Lücken.
Folgen sind eher was diskretes, d.h. man hat im Schaubild nur einzelne Punkte.

Nun zur Berechnung von Grenzwerten.
Bei Folgen macht es keinen Sinn den Grenzwert für n->0 zu berechnen, weil man eben nur einzelne diskrete Werte hat. D.h. im Schaubild liegen um 0 rum keine Werte.
Es macht bei Folgen nur Sinn zu untersuchen, wie sie sich für sehr große natürliche Zahlen verhalten. Man will also wissen, wie sich Folgen für n->oo verhalten.

Bei Funktionen wie deiner oben sieht das anders aus. Da sind auch andere Grenzwerte als x->oo interessant.
Wenn du deine Funktion oben zeichnest hast du ja stetige Kurven links und rechts von x=-1, die aber beliebig nahe an x=-1 definiert sind. Im Gegensatz zu Folgen macht es hier also Sinn zu fragen was passiert, wenn man sich x=-1 nähert. Du hast schon richtig gesagt, dass f(x) immer näher an 8 kommt wenn man sich x=-1 nähert. Man könnte also einfach den Punkt (-1|8) beim Graphen ergänzen und hätte eine stetige Funktion.
Es sind auch andere Ergebnisse denkbar. Z.B. könnte es sein, dass du verschiedene Grenzwerte erhältst, je nachdem ob du dich von links oder von rechts der -1 näherst.
Du kannst bei deiner Funktion oben wie bei Folgen auch den Grenzübergang x->oo betrachten.
Hier geht f(x) gegen -oo.

MfG
Christian
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leon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 22. August, 2005 - 13:24:   Beitrag drucken

Ok, habe ich so weit verstanden!!

Danke!!

leon

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