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tan(37,5°) mittels Additionstheoremen...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klasse 11 » Trigonometrie » tan(37,5°) mittels Additionstheoremen « Zurück Vor »

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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 74
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 17:58:   Beitrag drucken

Hi!

Man berechne mit Hilfe der Additionstheoreme den exakten Wert von
tan(37,5°)
- und möglichst in bruchfreier Darstellung!

Bin gespannt auf die Lösungen - es gibt einige Lösungswege!
Liebe Grüße
elsa
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2592
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 18:16:   Beitrag drucken

was mit Bruchfreier Darstellung gemeint ist ist mir
unklar,
aber 37,5° = 30°+(30°/4)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1093
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 18:38:   Beitrag drucken

Hallo Fritz,

das ist auch der Anfang von allem auf den man erst kommen muß

tan(30°) kann auf folgende Art bestimmt werden:

im gleichseitigen 3eck sind alle Winkeln 60°
die Höhe ist Winkelsymetrale und spaltet einen Winkel zu je 30°-Hälften; daher

a/2 / h = tan(30°)
h = a/2 * sqrt(3), daher: tan(30°) = sqrt(3)/3

durch 2maliges Anwenden der Halbwinkelsätze kommt man auf tan(30°/4); und mit Hilfe der Additionstheoreme kann man dann tan(37,5°) bestimmen;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4743
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 22:00:   Beitrag drucken

Hi elsa



Ich gebe Dir das Endresultat als Hors - d´oeuvre:

Gesucht wird R = tan(37,5°), im Bogenmass:
R = tan(5/24*Pi).

Das Resultat lautet:
R = R1 =
(sqrt(3) - sqrt(2) + 1) / (sqrt (6) – sqrt(3) +1)

einfacher:
R = R2 = sqrt(6) + sqrt(3) – sqrt(2) - 2

Näherungswert: R ~ 0,767327.

Vorbemerkungen:

Es genügt, als Resultat R1 anzugeben.
Die Herleitung von R2 aus R1 ist eine andere
Geschichte und nicht ganz einfach.
Allenfalls erscheint eine Herleitung für R2 in
einem zweiten Teil.

Übrigens:
Man ersetze bei den Berechnungen sqrt(6)
durch sqrt(3)*sqrt(2).

Zerlege 37,5° in die Differenz
60° - 45°/2 = 60° - 22,5°

Berechne daher zunächst,
im Sinne einer Vorbereitung,
M = tan (45°/2) mit der Halbwinkelformel:
tan t/2 = sqrt [ (1 - cos t) / (1 + cos t) ]
für t = 45° kommt:
tan (22,5°) = sqrt [ (2 - sqrt 2 ) / (2 + sqrt 2 ) ]
vereinfacht:
M = sqrt (2) - 1,
ein sehr schönes und einfaches Resultat, das uns ermutigt, durchzuhalten.

Weiter geht’s mit dem Subtraktionstheorem des
Tangens:
tan (60° - 22,5°) =
[tan 60° - tan 22,5°] / [ 1 + tan 60° * tan 22,5°) ]

Daraus erhalten wir nach einer kleinen Einsetzübung
das Ergebnis R1.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 75
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 05:21:   Beitrag drucken

Danke für die internationale Beteiligung! ;-)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4744
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 09:06:   Beitrag drucken

Hi elsa

Es ist für uns alle eine Ehrensache, derartige
Aufgaben zu lösen, die dem Einsatz der Phantasie
freien Lauf lassen.
Ich bin gerade daran, eine weiter Lösungsmethode zu
erproben, welche direkt die von Dir ersehnte bruchfreie
Darstellung ohne Umschweife liefert.

Grüsse nach Wien
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4745
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 09:40:   Beitrag drucken

Hi elsa



Es soll nun die angekündigte weitere Methode zur
Berechnung des Tangens von 37,5° präsentiert werden.
Gesucht wird m = tan 37,5°

Als Vorbereitung soll
H = tan 75° ermittelt werden.
Eine Routinerechnung liefert
H = 2 + sqrt (3)

Dies setzen wir in die Doppelwinkelformel des Tangens ein:
tan (2 phi) = 2 tan (phi) / [1 + {tan (phi )} ^ 2], also für
phi = 37,5° und m = tan (phi) :

2 + sqrt ( 3 ) = 2 m / ( 1 + m^2).
Das ist eine quadratische Gleichung für m:
m^2 + 2 m / [2+ sqrt(3)] – 1 = 0 mit der einzigen
positiven Lösung
m* = - 2 +sqrt(3)+sqrt(6)- sqrt(2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

voilà

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4746
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 10:10:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Betrifft: die in meinem erster Beitrag
erwähnte andere Geschichte.

Wir substituieren in R1: a = sqrt 2 - 1 , also
a^2 = 3 – 2 sqrt 2 ; wir erhalten:
R1 = [sqrt 3 – a] / [1 + a sqrt 3]
Nun erweitern wir den Bruch mit
Y = 1 – a sqrt 3, hihi.

Es kommt:
R1= [(a^2 + 1 ) sqrt 3 – 4 a] / [- 8 + 6 sqrt 2]

Die Substitution wird rückgängig gemacht.
Wir erhalten schließlich (kürzen mit 2):

R1 =
[2 sqrt 3–sqrt 2 sqrt 3–2 sqrt 2+2] / [- 4+3 sqrt 2]
Dieser Bruch wird mit Z = - 4 – 3 sqrt 2 erweitert,

Es entsteht:
R1 = - ½ [- 2 sqrt 3 –2 sqrt 3 sqrt 2 +2 sqrt 2 + 4]

und dies ist, oh Wunder, gerade R2!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1056
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 13:23:   Beitrag drucken


quote:

2 + sqrt ( 3 ) = 2 m / ( 1 + m^2).
Das ist eine quadratische Gleichung für m:
m^2 + 2 m / [2+ sqrt(3)] – 1 = 0 mit der einzigen
positiven Lösung
m* = - 2 +sqrt(3)+sqrt(6)- sqrt(2)




Da kann ich Dir nicht ganz folgen Megamath.
2 + sqrt ( 3 ) = 2 m / ( 1 + m²)
<=> 1+m² = 2m / [2+sqrt(3)]
<=> m² - 2m / [2+sqrt(3)] + 1 = 0

Vorzeichenfehler?
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4747
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 14:31:   Beitrag drucken

HI Ingo



Danke für Deinen Hinweis.
Vorzeichenfehler im Nenner der Doppelwinkelformel.
Es muss richtig heissen:
tan(2 phi) = 2 m /(1 - m^2)

Der Rest sollte richtig sein.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 76
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 15:50:   Beitrag drucken

... und zwei Zeilen weiter oben sollte stehen:
tan (2 phi) = 2 tan (phi) / [1 - {tan (phi )} ^ 2]...
;-)

liebe Grüße
elsa
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 77
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2005 - 05:35:   Beitrag drucken

Herzlichen Dank an megamath!
Bei diesem Beispiel kann man ja von allen möglichen Seiten kommen...

liebe Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4748
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2005 - 15:19:   Beitrag drucken

Hi elsa



Da hast Du natürlich Recht!*
Ich gebe allerdings zu, dass ich nach Abwechslung
gesucht habe und mir einen Sport daraus gemacht habe,
im Sinn des Mottos „variatio delectat“.

Daher noch eine Zugabe,
diesmal hoffentlich ohne Tipp- und andere Fehler.

Wir suchen u = tan 37,5° unter Zuhilfenahme von
v = tan 52,5°.

Da die beiden involvierten Winkel komplementär sind, gilt
v = 1 / u, also u * v = 1.

Wir wissen von früher:
tan 15° = 2 – sqrt 3.

Somit folgt aus
tan 15°= tan (52,5° - 37,5°) =
[ tan 52,5 ° – tan 37,5°] / [ 1 + tan 52,5° * tan 37,5°]

2 – sqrt 3 = ( v - u ) / ( 1 + u * v) oder
2 – sqrt 3 = ( v – u ) / 2

Es entsteht wiederum eine quadratische Gleichung für u:

u ^ 2 + (4 – 2 sqrt 3) * u - 1 = 0

Nach Vieta ist eine der Lösungen positiv, die andere negativ.
Relevant ist die positive Lösung, nämlich

u = - 2 + 3 ^ (1/2) + 6 ^ (1/2) - 2 ^ (1/2) ~ 0,767326989.

Grüße nach Wien
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Januar, 2005 - 04:13:   Beitrag drucken

...ich konnte keine Fehler finden!

liebe Grüße von elsa

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