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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 74 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 17:58: |
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Hi! Man berechne mit Hilfe der Additionstheoreme den exakten Wert von tan(37,5°) - und möglichst in bruchfreier Darstellung! Bin gespannt auf die Lösungen - es gibt einige Lösungswege! Liebe Grüße elsa |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2592 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 18:16: |
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was mit Bruchfreier Darstellung gemeint ist ist mir unklar, aber 37,5° = 30°+(30°/4) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1093 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 18:38: |
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Hallo Fritz, das ist auch der Anfang von allem auf den man erst kommen muß tan(30°) kann auf folgende Art bestimmt werden: im gleichseitigen 3eck sind alle Winkeln 60° die Höhe ist Winkelsymetrale und spaltet einen Winkel zu je 30°-Hälften; daher a/2 / h = tan(30°) h = a/2 * sqrt(3), daher: tan(30°) = sqrt(3)/3 durch 2maliges Anwenden der Halbwinkelsätze kommt man auf tan(30°/4); und mit Hilfe der Additionstheoreme kann man dann tan(37,5°) bestimmen; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4743 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2005 - 22:00: |
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Hi elsa Ich gebe Dir das Endresultat als Hors - d´oeuvre: Gesucht wird R = tan(37,5°), im Bogenmass: R = tan(5/24*Pi). Das Resultat lautet: R = R1 = (sqrt(3) - sqrt(2) + 1) / (sqrt (6) – sqrt(3) +1) einfacher: R = R2 = sqrt(6) + sqrt(3) – sqrt(2) - 2 Näherungswert: R ~ 0,767327. Vorbemerkungen: Es genügt, als Resultat R1 anzugeben. Die Herleitung von R2 aus R1 ist eine andere Geschichte und nicht ganz einfach. Allenfalls erscheint eine Herleitung für R2 in einem zweiten Teil. Übrigens: Man ersetze bei den Berechnungen sqrt(6) durch sqrt(3)*sqrt(2). Zerlege 37,5° in die Differenz 60° - 45°/2 = 60° - 22,5° Berechne daher zunächst, im Sinne einer Vorbereitung, M = tan (45°/2) mit der Halbwinkelformel: tan t/2 = sqrt [ (1 - cos t) / (1 + cos t) ] für t = 45° kommt: tan (22,5°) = sqrt [ (2 - sqrt 2 ) / (2 + sqrt 2 ) ] vereinfacht: M = sqrt (2) - 1, ein sehr schönes und einfaches Resultat, das uns ermutigt, durchzuhalten. Weiter geht’s mit dem Subtraktionstheorem des Tangens: tan (60° - 22,5°) = [tan 60° - tan 22,5°] / [ 1 + tan 60° * tan 22,5°) ] Daraus erhalten wir nach einer kleinen Einsetzübung das Ergebnis R1. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 75 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 05:21: |
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Danke für die internationale Beteiligung! ;-) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4744 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 09:06: |
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Hi elsa Es ist für uns alle eine Ehrensache, derartige Aufgaben zu lösen, die dem Einsatz der Phantasie freien Lauf lassen. Ich bin gerade daran, eine weiter Lösungsmethode zu erproben, welche direkt die von Dir ersehnte bruchfreie Darstellung ohne Umschweife liefert. Grüsse nach Wien H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4745 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 09:40: |
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Hi elsa Es soll nun die angekündigte weitere Methode zur Berechnung des Tangens von 37,5° präsentiert werden. Gesucht wird m = tan 37,5° Als Vorbereitung soll H = tan 75° ermittelt werden. Eine Routinerechnung liefert H = 2 + sqrt (3) Dies setzen wir in die Doppelwinkelformel des Tangens ein: tan (2 phi) = 2 tan (phi) / [1 + {tan (phi )} ^ 2], also für phi = 37,5° und m = tan (phi) : 2 + sqrt ( 3 ) = 2 m / ( 1 + m^2). Das ist eine quadratische Gleichung für m: m^2 + 2 m / [2+ sqrt(3)] – 1 = 0 mit der einzigen positiven Lösung m* = - 2 +sqrt(3)+sqrt(6)- sqrt(2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° voilà Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4746 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 10:10: |
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Hi allerseits Betrifft: die in meinem erster Beitrag erwähnte andere Geschichte. Wir substituieren in R1: a = sqrt 2 - 1 , also a^2 = 3 – 2 sqrt 2 ; wir erhalten: R1 = [sqrt 3 – a] / [1 + a sqrt 3] Nun erweitern wir den Bruch mit Y = 1 – a sqrt 3, hihi. Es kommt: R1= [(a^2 + 1 ) sqrt 3 – 4 a] / [- 8 + 6 sqrt 2] Die Substitution wird rückgängig gemacht. Wir erhalten schließlich (kürzen mit 2): R1 = [2 sqrt 3–sqrt 2 sqrt 3–2 sqrt 2+2] / [- 4+3 sqrt 2] Dieser Bruch wird mit Z = - 4 – 3 sqrt 2 erweitert, Es entsteht: R1 = - ½ [- 2 sqrt 3 –2 sqrt 3 sqrt 2 +2 sqrt 2 + 4] und dies ist, oh Wunder, gerade R2! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1056 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 13:23: |
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quote:2 + sqrt ( 3 ) = 2 m / ( 1 + m^2). Das ist eine quadratische Gleichung für m: m^2 + 2 m / [2+ sqrt(3)] – 1 = 0 mit der einzigen positiven Lösung m* = - 2 +sqrt(3)+sqrt(6)- sqrt(2)
Da kann ich Dir nicht ganz folgen Megamath. 2 + sqrt ( 3 ) = 2 m / ( 1 + m²) <=> 1+m² = 2m / [2+sqrt(3)] <=> m² - 2m / [2+sqrt(3)] + 1 = 0 Vorzeichenfehler? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4747 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 14:31: |
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HI Ingo Danke für Deinen Hinweis. Vorzeichenfehler im Nenner der Doppelwinkelformel. Es muss richtig heissen: tan(2 phi) = 2 m /(1 - m^2) Der Rest sollte richtig sein. MfG H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 76 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Januar, 2005 - 15:50: |
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... und zwei Zeilen weiter oben sollte stehen: tan (2 phi) = 2 tan (phi) / [1 - {tan (phi )} ^ 2]... ;-) liebe Grüße elsa |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 77 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2005 - 05:35: |
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Herzlichen Dank an megamath! Bei diesem Beispiel kann man ja von allen möglichen Seiten kommen... liebe Grüße elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4748 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2005 - 15:19: |
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Hi elsa Da hast Du natürlich Recht!* Ich gebe allerdings zu, dass ich nach Abwechslung gesucht habe und mir einen Sport daraus gemacht habe, im Sinn des Mottos „variatio delectat“. Daher noch eine Zugabe, diesmal hoffentlich ohne Tipp- und andere Fehler. Wir suchen u = tan 37,5° unter Zuhilfenahme von v = tan 52,5°. Da die beiden involvierten Winkel komplementär sind, gilt v = 1 / u, also u * v = 1. Wir wissen von früher: tan 15° = 2 – sqrt 3. Somit folgt aus tan 15°= tan (52,5° - 37,5°) = [ tan 52,5 ° – tan 37,5°] / [ 1 + tan 52,5° * tan 37,5°] 2 – sqrt 3 = ( v - u ) / ( 1 + u * v) oder 2 – sqrt 3 = ( v – u ) / 2 Es entsteht wiederum eine quadratische Gleichung für u: u ^ 2 + (4 – 2 sqrt 3) * u - 1 = 0 Nach Vieta ist eine der Lösungen positiv, die andere negativ. Relevant ist die positive Lösung, nämlich u = - 2 + 3 ^ (1/2) + 6 ^ (1/2) - 2 ^ (1/2) ~ 0,767326989. Grüße nach Wien H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 78 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Januar, 2005 - 04:13: |
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...ich konnte keine Fehler finden! liebe Grüße von elsa |