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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 373
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juli, 2004 - 15:42: | 
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Hi @ll,
ich hab auch mal wieder eine Aufgabe, bei der ich keinen richtigen Lösungsweg finde:
geg.:
-Punkte A(2|3|4) und B(6|5|16), welcher in einer Ebene liegen
-Diese Ebene soll zum Ursprung den Abstand 2 haben
ges.:
Ebenengleichung...
die Lösung müsste 2x+2y-z=6 lauten, aber wie kommt man darauf?
DANKE
mfG
Tux
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1499
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juli, 2004 - 16:49: |
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Hi,
es gibt sogar noch eine zweite Ebene!!
6 x - 18 y + z + 38 = 0
Erster Tipp:
Betrachte eine Kugel um O mit dem Radius 2 , dann sind die gesuchten Ebenen Tangentialebenen dieser Kugel!
Bei Fragen melde dich noch mal!
mfg |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1165
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juli, 2004 - 17:33: |
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Hallo!
Es kommen übrigens 2 Lösungen in Betracht, denn geometrisch ist die gesuchte Ebene die Tangentialebene durch die Gerade AB an eine Kugel mit dem Mittelpunkt in O und dem Radius 2, und davon gibt es eben zwei.
Setzen wir die Ebene mit
ax + by + cz = 1 [ .. d-normierte oder Abschnittsform]
an, dadurch haben wir nur die 3 Variablen (a,b,c), für die auch drei Gleichungen existieren:
1.: 2a + 3b + 4c = 1
2.: 6a + 5b + 16c = 1
3.: 1/sqrt(a² + b² + c²) = 2
------------------------------
Die letzte Gleichung ist die auf Null gebrachte Hesse'sche Normalform der Ebene, in die statt x, y , z die Koordinaten des Nullpunktes eingesetzt wurde und sich daher dessen Normalabstand 2 zur Ebene ergibt.
4*1.: 8a + 12b + 16c = 4
2.: 6a + 5b + 16c = 1 | -
---------------------------
2a + 7b = 3
a = (-7b + 3)/2, dies in 1.:
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-7b + 3 + 3b + 4c = 1
c = (4b - 2)/4 = (2b - 1)/2
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beide in 3.: a² + b² + c² = 1/4
(-7b + 3)²/4 + b² + (2b - 1)²/4 = 1/4 |*4
49b² - 42b + 9 + 4b² + 4b² - 4b + 1 = 1
57b² - 46b + 9 = 0
b1 = 1/3; b2 = 27/57
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durch Rückeinsetzen folgt
a1 = 1/3; c1 = -1/6 und die erste Ebene
x/3 + y/3 - z/6 = 1 | *6
2x + 2y - z = 6
analog die zweite Ebene mit a2, c2 ....
Gr
mYthos
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 374
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juli, 2004 - 21:04: |
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DANKE -- habs sogar verstanden ;)
mfG
Tux
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