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Verkettung und Ableitung von Funktionen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klasse 11 » Funktionen » Sonstiges » Verkettung und Ableitung von Funktionen « Zurück Vor »

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Omchen (Omchen)
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Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 13:08:   Beitrag drucken

Hallo,
ich habe in der Schule eine Woche gefehlt, und in der Zeit wurde die Verkettung zweier Funktionen und deren Ableitungen durchgenommen.
Jetzt hätte ich gerne zu den folgenden drei Aufgaben den Lösungsweg, damit ich das System nachvollziehen kann.

Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis.
1. g(x)= ½*wurzel(2x²+1)
2. f(x)= (x²-2x)³ *wurzel(x)
3. k(x)= ((8x-2)/(x+1))²

Die Lösungen sind laut Lösungsbuch:
1. g’(x)= x / wurzel(2x²+1)
2. f’(x)= ½*x² *wurzel(x) *(x-2)² *(13x-14)
3. k’(x)= 40*(4x-1) / (x+1)³
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 593
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 15:08:   Beitrag drucken

Hi Omchen!
Die Regel lautet ja: Bilde die Ableitung der inneren Funktion (die innere Ableitung) und multipliziere sie mit der Ableitung der äußeren Funktion (äußere Ableitung).
1)
Innere Ableitung: (2x²+1)' = 4x
Äußere Ableitung an der Stelle z:
1/2*1/(2*Öz)
an der Stelle 2x²+1 also:
1/2*1/(2*Ö(2x²+1))
Multiplikation ergibt:
4x*1/2*1/(2*Ö(2x²+1))=x/Ö(2x²+1)
Fortsetzung folgt
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 16:08:   Beitrag drucken

2)
f(x)=(x²-2x)³Öx
Ableitung des 1.Faktors mal 2.Faktor + Ableitung des 2.Faktors mal 1. Faktor
Beim Ableiten des 1. Faktors wieder die Kettenregel benutzen (wie in 1.)
f'(x)=(2x-2)*3(x²-2x)²Öx+1/(2Öx)*(x²-2x)³
=(x²-2x)²Öx*[(6x-6)+(x²-2x)/(2x)]
=(x²-2x)²Öx*(12x-12+x-2)/2
=(x²-2x)²Öx*1/2*(13x-14)
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 16:15:   Beitrag drucken

3.)
k(x)= ((8x-2)/(x+1))²
Quotientenregel: (Ableitung des Zählers * Nenner - Ableitung des Nenners * Zähler)/Nenner²
Obendrein die Kettenregel benutzen
k'(x)=(8*(x+1)-1*(8x-2))/(x+1)² * 2((8x-2)/(x+1))
=(8+2)*2(8x-2)/(x+1)³
=(160x-40)/(x+1)³

Viele Grüße
Jair
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Omchen (Omchen)
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Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 16:27:   Beitrag drucken

Vielen Dank, Jair!
Das konnte ich jetzt gut nachvollziehen!

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