| Autor |
Beitrag |
    
Kirsten_franke (Kirsten_franke)
Junior Mitglied
Benutzername: Kirsten_franke
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 09:22: | 
|
Hi!
Ich komme absolut nicht weiter bei meiner HA.
Die erste Aufgabe ist:
Welches Rechteck mit gegebener Diagonalenlänge D hat die größte Fläche?
und zweitens:
Ein gleichschenkliges Dreieck hat den gegebenen Umfang U. Für welche Seitenlänge s wird der Flächeninhalt des Dreieckes maximal?
Uns wurde gesagt, das bei der ersten Aufgabe ein Quadrat herauskommen muss und bei der zweiten Aufgabe ein gleichseitiges Dreieck. Aber wie komme ich darauf?
|
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 11:30: |
|
Hi Kirsten 
Zur ersten Aufgabe:
********************
Der Flächeninhalt soll maximal werden.
Nehmen wir an,die Diagonale D ist gegeben.Eine Seite nennen wir a.Die andere Seitenlänge b kann man dann mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
b=sqrt(D²-a²)
Dementsprechend gilt für den Flächeninhalt:
A = a*b = a* sqrt(D²-a²)
************************
Wie man sieht,hängt A nun von der Wahl von a ab.Jetzt müssen wir also die Funktion A(a)auf Extremstellen untersuchen.Für die folgenden Betrachtungen benutze ich x an Stelle von a,der Übersicht wegen.
f(x)=x* sqrt(D²-x²)
f´(x)=-2x²/(2*sqrt(D²-x²)) + sqrt(D²-x²)
Die Voraussetzung für Extremstellen ist f´(x0)=0,
also:-2x²/(2*sqrt(D²-x²)) + sqrt(D²-x²)=0 |*(2*sqrt(D²-x²))
<=>-2x²+2*(D²-x²)=0
<=>x = +bzw-(1/sqrt2)*D
***********************
Man findet dann an beiden Stellen ein Maximum!
Da es aber keine negativen Seitenlängen gibt,fällt die Lösung mit dem negativen Vorzeichen weg.
Die Seitenlänge a bzw. x kennen wir nun.Um aber zu beurteilen,welches Rechteck den maximalen Flächeninhalt hat,müssen wir noch b bestimmen.
b= sqrt(D²-a²) (s.oben)
Einsetzen von a:
b= sqrt(D²-((1/sqrt2)*D)²)
b= sqrt(D²-1/2*D²)=sqrt(1/2*D²)
b= (1/sqrt2)*D
***************
Diese Seitenlänge entspricht der von a,es muss sich also um ein Rechteck handeln.
(Beitrag nachträglich am 21., Februar. 2004 von Kratas editiert)
(Beitrag nachträglich am 21., Februar. 2004 von Kratas editiert) |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 14:21: |
|
Hier nochmal Lösungshinweise zur zweiten Aufgabe:
b-Basisseite s-Schenkel h-Höhe zu b
U = 2s + b
A = 0,5 * b * h
h² + (b/2)² = s²
z.B. die Flächeninhaltsfunktion A(b) untersuchen...den Rest kriegst du wohl selber hin.
MfG
Kratas
|
|
