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Kurvendiskussion-Extremstellen

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Kassandra (isla)
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Neues Mitglied
Benutzername: isla

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 17:42:   Beitrag drucken


Hey Leute!
Wäre euch echt dankbar wenn mir einer von euch helfen könnte. Schreib morgen eine Klausur und häng hier grad irgendwie. Welche allgemeinen bedingungen gelten für Extremstellen bei einer Kurvendiskussion? Haben das irgendwie sehr seltsam aufgeschrieben:

BEISPIEL 1
f(x)= x^4- x³

Extremstellen: f'(x)=0
--> 4x³- 3x²=0
x²*(4x-3)=0
x1=0
x2=3/4
--> waagrechte Tangente

f'(x)=0
f"(x)(ungleich) 0

f"(0)= 0 --> keine Aussage
aber f'''(0)= -6 (ungleich)0
-> An der Stelle x=0 ist ein sattelpunkt

f"(3/4)= 12*9/16-6*3/4=27/4-18/4 (ungleich)0 und >0
-> An der Stelle x=3/4 liegt ein Tiefpunkt

BEISPIEL 2
f(x)=x^4-13x²-12

Extremstelle:
4x³-26x=0
x*(4x²-26)=0
x1=0
x2= (Wurzel aus)13/2
x3= -(Wurzel aus)13/2

f"(0)= -26 -> Hochpunkt an der Stelle x1=0
f"(Wurzel aus)(13/2)= 12*(2,549)²-26>0 --> Tiefpunkt an der Stelle x2 und x3 (wegen Symmetrie)

Meine Frage nun, wie sind wir da drauf gekommen? Gibt es allgemeine Bedingungen oder muss man immer das selbe machen?
}
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Richard (blacksun0vs1)
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Neues Mitglied
Benutzername: blacksun0vs1

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 18:52:   Beitrag drucken

"Meine Frage nun, wie sind wir da drauf gekommen? Gibt es allgemeine Bedingungen oder muss man immer das selbe machen?"
Sowohl als auch, und das ist ja das schöne: Gerade weil es ganz allgemeine Bedingungen gibt muß man immer das selbe machen. Was ist eigentlich eine Extremstelle? Nun, das ist eine Stelle, die sich dadurch auszeichnet, daß in ihrer nahen Umgebung keine höheren (bei einem Maximum) oder tieferen (Minimum) exisistieren. An einem Gipfel ist, zumindestens auf diesem Berg, der höchste Punkt erreicht. Was ist aber keine Extremstelle? Ganz einfach, eine Wendestelle. Und das muß man immer mit überprüfen, weil man sich sonst nicht sicher sein kann, daß es nicht doch eine Wendestelle ist.
Ok, wie bekommt man das alles nun raus?
Ganz einfach: eine Extremstelle ist entweder der höchste oder niedrigste Punkt in entsprechender Umgebung. Die Steigung ist also Null, weil egal wohin man von dieser Stelle aus geht, man geht wieder zurück zu den niedrigeren (oder höheren) Werten. Also muß man lediglich schauen, an welchen Stellen, die Steigung Null ist.

Das machen wir mal zusammen an dem ersten Beispiel.

Die Funktion lautet f(x)=x4-x3

Ich gehe davon aus, daß Du davon die Ableitung bilden kannst. Denn diese ist bekanntlich die Steigungsfunktion unserer usprünglichen Funktion.

Sie lautet: f'(x)=4x3-3x2

Sie gibt in jedem Punkt unserer Ausgangsfunktion die Steigung an. Wir wollen aber nur die Stellen haben, an denen die Steigung Null ist. Dann setzten wir die Steigungsfunktion einfach gleich Null und hoffen, daß wir Lösungen herausbekommen:

Setzte f'(x)=0
Also 4x3-3x2=0
Hier können wir nun x2 ausklammern. Warum? Weil wir wissen, daß wenn ein Produkt gleich Null ist einer der Faktoren Null sein muß. Und nicht zuletzt deshalb, weil man in der 11 Klasse meistens nicht lernt kubische Funktionen (Funktionen mit x3) zu lösen.
Damit ergibt sich also: x2(4x-3)=0
Wie gesagt kann jeder dieser beiden Faktoren Null sein, also entweder x2=0 oder 4x-3=0
Aus x2=0 ergibt sich x=0 (einfach die Wurzel auf beiden Seiten ziehen)
und aus 4x-3=0 ergibt sich 4x=3 also x=3/4

An dieser Stelle wären wir nun fertig, wenn es nicht die Wende punkte gäbe. Für die gilt nämlich alles, was wir gerade gemacht haben auch, so daß es sein könnte, daß bei den beiden Lösungen die wir gerade gefunden haben Wendestellen dabei sein könnten. Man hat aber Möglichkeiten Wendestellen von Extremstellen zu unterscheiden. Die wichtigste ist, daß Extremstellen an ihrer zweiten Ableitung nicht Null sein dürfen. Wenn wir also das noch für unsere beiden Lösungen zeigen können wir uns ganz sicher sein.

Die zweite Ableitung unserer Ausgangsfunktion lautet: f''(x)=12x2-6x
Darin müssen wir unsere gefundenen Lösungen x=3/4 und x=0 einsetzten:
f''(3/4)=9/4 also eine echte Extremstelle (ein Minimum, da 9/4 > 0 ist)
f''(0)=0 leider noch keine Extremstelle. Hier müssen wir nocheinmal schauen, das uns Null eingesetzt in die 3. Ableitung liefert. Wenn hier jetzt ein Wert ungleich Null herauskommt, haben wir also eine Wendestelle:
3. Ableitung: f'''(x)=24x-6
Null eingesetzt: f'''(0)=-6 also ist bei Null eine Wendestelle

Ich hab das mal recht ausführlich gemacht. Wenn dir dennoch etwas dabei unklar sein sollte, schreibs einfach.

Richard

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