| Autor |
Beitrag |
    
Xeryk (Xeryk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 12:18: | 
|
Hey!
Hab hier eine Aufgabe, mit der ich irgendwie nicht klar komme... Kann mir das bitte jemad erklären / beweisen?
Aufgabe 1:
Beweise: Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r ist A = pi*r2.
Hinweis: a) Führe den Beweis erst für r = 1 [cm].
b) Nähere den Kreis durch einbeschriebene n-Ecke an.
Liebe Grüße
und vielen Dank schon mal im Voraus.
xeryk
Sahra
|
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1344
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 14:55: |
|
der Zentriwinkel eines Tortenstücks sei der n-te Teil von 2pi (dem vollen Winkel), also phi = 2pi / n
an Stelle des Kreisbogens nehmen wir die Sehne, und dann gelten folgende Zusammenhänge
s/2 / r = sin( phi/2 ) <=> s = 2r sin( phi/2 )
h / r = cos( phi/2 ) <=> h = r cos( phi/2 )
ATeil = hs/2 = 2r^2 sin( phi/2 ) cos( phi/2 ) / 2 =
r^2 sin( phi ) / 2, wegen sin( 2 alpha ) = 2 sin( alpha ) cos( alpha )
A = n ATeil = n r^2 sin( phi ) / 2 = n r^2 sin( 2pi / n ) / 2 = r^2 [ n sin( 2pi / n ) / 2 ]
lim [n->inf] n sin( 2pi / n ) / 2 =
lim [n->inf] sin( 2pi / n ) / ( 2 / n ) =
nach l'Hospital wird das zu
lim [n->inf] [ cos( 2pi / n ) ( 2pi / n )' ] / [ ( 2 / n )' ] =
lim [n->inf] [ 2pi cos( 2pi / n ) ( 1 / n )' ] / [ 2 ( 1 / n )' ] =
lim [n->inf] [ 2pi cos( 2pi / n ) ] / 2 = pi
damit gilt: A = r^2 pi
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Xeryk (Xeryk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 11:54: |
|
Hey! Kannst du mir das auch anders erklären? Irgendwie so, dass ich es auch verstehe?
Besonders den letzten Teil mit Lim und so...
LG
xeryk
Sahra
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1449
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 12:12: |
|
Wahrscheinlich ist in Klassen 8 - 10 die Infinitesimalrechnung noch nicht bekannt.
Vielleicht so:
Zerschneide den Kreis (vom Zentrum aus) in (2n) Tortenstuecke. Dann lege diese abwechselnd mit den Spitzen nach unten und oben nebeneinander. Wir erhalten ein rechtecksfoermiges Gebilde, die Laenge besteht aus n Kreisboegen und lautet u/2 (u Kreisumfang), die Breite ist r. Je mehr Tortenstuecke wir haben, also je feiner der Kreis zerschnitten ist, desto besser naehert sich diese Flaeche einem Reckteck an.
Somit ist die Flaeche: A = r*u/2
wegen
u = 2r*pi ist A = r^2 * pi.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 05., Juni. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1345
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 12:52: |
|
Nachtrag: Beweis für den Kreisumfang
auch hier: der Zentriwinkel eines Tortenstücks sei der n-te Teil von 2pi (dem vollen Winkel), also phi = 2pi / n
an Stelle des Kreisbogens nehmen wir die Sehne, und dann gelten folgende Zusammenhänge
s/2 / r = sin( phi/2 ) <=> s = 2r sin( phi/2 )
uTeil = s = 2r sin( phi/2 )
u = n uTeil = 2nr sin( phi/2 ) = 2nr sin( pi/n ) = 2r [ n sin( pi / n ) ]
das ist sauber nach den Regeln der Mathematik (analog zu oben)
lim [n->inf] n sin( pi / n ) =
lim [n->inf] sin( pi / n ) / ( 1 / n ) = pi
oder anders erklärt:
wenn Du einen Halbkreis (Einheitshalbkreis mit r = 1) in verdammt kleine Tortenstücke (eben diese n-Stück) zerlegst, dann ist bei diesen Tortenstücken die Sehne gleich dem Bogen; und n-mal die Sehne ist dann n-mal der Bogen und das ergibt dann pi, weil der Halbkreis einen Zentriwinkel von pi hat;
damit gilt: u = 2r pi
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1450
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 13:10: |
|
@Mainzi
Frage: .. und warum ist der Zentriwinkel des Halbkreises pi?
Antwort: Weil er der halbe Umfang des Einheitskreises ist. Und da wird eben die Umfangsformel vorausgesetzt!
Somit ist dies leider kein Beweis ...
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1346
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 13:29: |
|
@mYthos: wie erklärst es ohne Infinitesimalrechnung?
des wäre ja der korrekte Beweis 
lim [n->inf] sin( pi / n ) / ( 1 / n ) = pi
is ein wenig verzwickt ...
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1836
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 13:33: |
|
Hallo
Was darf man denn Überhaupt voraussetzen? Also wie ist Pi bei euch definiert. So wie die Aufgabe oben steht kann man ja erstmal gar nichts beweisen.
MfG
Christian |
Xeryk (Xeryk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 08-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 17:45: |
|
Ach, wenn das so ist, kannst du mir das dann anders erklären? Hab zwar gerade erst den Beweis von den anderen beiden verstanden, aber trotzdem...
LG
xeryk
Sahra
|
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1837
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 17:59: |
|
Hallo Sahra
Es ging mir nur um Folgendes:
Du willst oben die Beziehung A=Pi*r^2 beweisen.
Damit das Überhaupt eine sinnvolle Aussage ist musst du ja wissen wie Pi Überhaupt definiert ist.
Du hÜttest ja zum Beispiel die MÜglichkeit Pi Über die FlÜche des Einheitskreises zu definieren, dann wÜre (fast) nichts mehr zu zeigen.
MfG
Christian |
