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Exzel (Exzel)
Neues Mitglied
Benutzername: Exzel
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 12:05: | 
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Hallo zusammen,
was ist eine Gleichung beliebigen Grades bzw. 1. 2. usw. Grades?
THX im voraus |
Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 649
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 14:10: |
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Die einzelnen Potenzgleichungen werden nach folgendem Schema benannt:
Die höchste Potenz von x bestimmt den Namen der Gleichung. Wenn x in erster Potenz vorkommt, so handelt es sich um eine Gleichung ersten Grades.
Ist x die höchste x-Potenz, so spricht man von einer Geichung zweiten Grades usw.
Lineare Gleichungen sind also Gleichungen ersten Grades, quadratische Gleichungen sind Gleichungen zweiten Grades, kubische Gleichungen haben den Grad drei und biquadratische haben den Grad vier.
Allgemeine Gleichungen haben den Grad n. Dabei hat x die Potenz n, also xn.
Gruß Filipiak
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1415
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 16:24: |
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@Filipiak
Nicht ganz richtig ... eine biquadratische Gleichung ist eine solche 4. Grades, die sich auf eine quadratische Gleichung zurückführen lässt, welche also - ausser dem absoluten Glied - nur die Glieder mit der 4. und 2. Potenz enthält.
Z.B.:
x^4 - 13x^2 + 36 = 0,
mit x^2 = z wird dies zu
z^2 - 13z + 36 = 0.
Ansonsten sagt man einfach Gleichung vierten Grades.
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1331
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 17:06: |
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analoges existiert für die sogenannte Bikubische Gleichung,
das ist eine Gleichung 6ten Grades, welche sich mit analogem "Trick" in eine Quadratische Gleichung zurückführen läßt;
x^6 + 3x^3 - 4 = 0
mit x^3 = z wird dies zu
z^2 + 3z - 4 = 0
bzw.
(z - 1)(z + 4) = 0
Bei Gleichungen geraden Grades - Gleichungen bei den das Glied der höchsten Potenz einen geraden Exponenten hat, gilt: existiert eine reelle Lsg., dann existiert auch noch eine zweite reelle Lsg., sie treten immer in Paaren auf (Mehrfachlsg. sind hier auch mehrfach zu zählen);
Bei Gleichungen ungeraden Grades - die anderen - existiert immer eine reelle Lsg.
x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = 0
hier handelt es sich um eine sogenannte symetrische Gleichung höheren Grades, ist genau dann, wenn die Koeffizienten vom Grad n-k mit dem vom Grad k übereinstimmen, mit n als Grad der Gleichung und k von 0 bis n
ist der Grad einer symetrischen Gleichung ungerade, ist -1 Lsg. der Gleichung und es kann Polynomdividiert werden, um den Grad um 1 zu reduzieren;
ist der Grad einer symetrischen Gleichung gerade (wie hier) geht man wie folgt vor:
beim Grad n dividiert man die Gleichung durch x^(n/2), x=0 ist nicht Lsg. somit ist das keine Division durch 0
x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = 0 | /x^2
x^2 - 2x + 2 - 2/x + 1/x^2 = 0
dann faßt man "gleiche" Exponenten zusammen
x^2+1/x^2 - 2x-2/x + 2 = 0
nun substituiert man folgenden "Trick"
y = x + 1/x
y^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 <=> y^2-2 = x^2 + 1/x^2
falls die Gleichung vom Grad 6 oder 8 ist hier noch die höheren Substitutionen
y^3 - 3y = x^3 + 1/x^3
y^4 - 4y^2 + 2 = x^4 + 1/x^4
nach Substition sieht diese Gleichung wie folgt aus:
y^2 - 2 - 2y + 2 = 0
y^2 - 2y = 0
y(y - 2) = 0
um jetzt die Lsg. der Ursprungsgleichung zu bekommen, löst man für jede Lsg. der Substitionsgleichung folgende Gleichung
x + 1/x = y
x^2 + 1 = yx
x^2 - yx + 1 = 0
x1,2 = y/2 +/- sqrt( y^2/4 - 1 )
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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