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Janinazimmermann (Janinazimmermann)
Neues Mitglied
Benutzername: Janinazimmermann
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 11:03: | 
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Hi.
Zeige: Der Inkreisradius bei einem rechtwinkligen Dreieck ist ganzzahlig, wenn das rechtwiknlige Dreieck ganzzahlige Seitenlängen besitzt.
Gruß
Janina |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2805
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 11:44: |
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Wenn man vom Inkreismittelpunk die Normalen auf
die Seiten f�llt entstehen 3 3ecke die alle dieselbe
H�he r haben ,
die Fl�che A des reWi. 3ecks ist also
A = Umfang * r / 2
also
r = 2*A / Umfang
schaffst Du den Rest selbst? ( mit der 2ten Formel
für A )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Janinazimmermann (Janinazimmermann)
Neues Mitglied
Benutzername: Janinazimmermann
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 17:01: |
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hi.
ich komme hier nicht weiter. ich habe das nun so gemacht.
wenn ich den flächeninhlat der dreieck ausrechene mit den dreiecksseiten a,b, und c, habe ich:
r=radius des inkreises
F=Flächeninhalts des gesamten Dreiecks
1/2 * a * r
1/2 * b * r
1/2 * c * r
1/2 * a * r + 1/2 * b * r +
1/2 * c * r= F
--> 2F= r * (a + b + c)
Wenn a, b und c ganzzahlig sind, dann ist 2F auch ganzzahlig.
Kann man daraus folgern, dass r auch ganzzahlig ist??
Gruß
Janina Zimmermann |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2806
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 17:34: |
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ok,
wenn a,b die Katheten sind ist 2F = a*b
und
es ergibt sich r = a*b / (a + b + c )
nun
must Du allerdings in a,b,c noch
entweder
c = Wurzel(a^2 + b^2) einsetzen,
den
Nenner "entwurzeln" und die gerade/ungerade
Kombinationen der a,b,c untersuchen
oder
besser gleich f�r a,b,c die Formeln f�r
Pythatogr�ische Tripel verwenden
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1420
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 17:43: |
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Das bis jetzt Gesagte gilt ja für alle Dreiecke, und es soll nun speziell für das rechtwinkelige die Ganzzahligkeit von r gezeigt werden.
------- Zitat -------
Wenn a, b und c ganzzahlig sind, dann ist 2F auch ganzzahlig.
Kann man daraus folgern, dass r auch ganzzahlig ist??
------- Zitat -------
Sicher nicht, denn r = 2F/(a + b + c), und dieser Quotient muss a priori (von vornherein) nicht ganzzahlig sein.
Vielmehr muss ins Spiel gebracht werden, dass
a, b, c ein pythagoräisches Zahlentripel bilden ....
Gr
mYthos |
Janinazimmermann (Janinazimmermann)
Junior Mitglied
Benutzername: Janinazimmermann
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 18:17: |
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Zitat:""besser gleich für a,b,c die Formeln für
Pythatogoräiesche Tripel verwenden"
Irgendwie komme ich nicht weiter. Schrecklich...*g*
Wie verwende ich "die Formeln für a,b und c"?!?!
Gruß und nochmals vielen Dank
Janina Zimmermann |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2807
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 18:26: |
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Pyth.Tripel:
a = 2*u*v, b=u^2 - v^2, c = u^2 + v^2
ergibt
mit ganzzahligen u,v ein re.Wi. 3eck
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Janinazimmermann (Janinazimmermann)
Junior Mitglied
Benutzername: Janinazimmermann
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 19:46: |
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was ist "u" und "v"?
umfang?!
gruß
janina zimmermann |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2810
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 20:08: |
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beliebige nat�rliche Zahlen; mit u ist NICHT
der Umfang gemeint
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2811
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 08:43: |
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Ich nehme an, unter Verwendung der Pyth.Tripel
ist es jetzt klar,
aber moeglicherweise war nach diesen nicht
gefragt,
und es ist auch ohne moeglich:
r = a*b / (a + b + c)
also wegen c = Wurzel(a^2 + b^2)
erweitern mit (a+b) - c um den
Nenner zu "entwurzel"
r = a*b*(a+b - c) / ( (a+b)^2 - c^2)
r = a*b*(a+b - c) / ( a^2+2ab+b^2 - c^2 )
r = a*b*(a+b - c) / ( c^2 + 2ab - c^2 )
r = a*b*(a+b - c) / ( 2*a*b )
r = (a+b - c) / 2
ist also nur noch zu zeigen
dass
a+b - c gerade ist
wenn a = 2a1 und b = 2b1, also beide gerade
gilt
a+b - c = 2(a1+b1) - Wurzel(4a1^2+4b1^2)
a+b - c = 2(a1+b1) - 2Wurzel(a1^2+b1^2)
und
da ja c ganzzahlig ist ist es auch die Wurzel
somit
a+b - c = 2*(a1+b1 - Wurzel(a1^2+b1^2) ) gerade
wenn a = 2a1+1 und b = 2b1 - 1, also beide ungerade
ist
a+b gerade, und a^2+b^2 ebenfals, und die ganzzahlige
Wurzel einer geraden kann nur gerade sein,
a+b - c also wieder gerade
wenn schlie�lich a ungerade, b gerade oder umgekehrt
gilt
sind a+b und a^2+b^2 ungerade, c, die Wurzel muss ungerade sein
und
a+b - c, die Differenz zweier ungerade wieder gerade
diese 3 Faelle zu beschreiben war natuerlich
aufwendig - es sind aber eigentlich Kopfrechnungen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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