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Siggo121 (Siggo121)
Neues Mitglied
Benutzername: Siggo121
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 14:52: | 
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Hier ist noch so eine blöde Aufgabe!
Gegeben sei die Funktion
f: x ® 1,5x - 3 mit Df = Q
Bemerkung: Q = Menge der rationalen Zahlen.
Aufgaben:
a) Begründen Sie, dass die Funktion f umkehrbar ist.
b) Bstimmmen Sie die Umkehrfunktion f-1 |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 16:32: |
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Hallo Siggo,
a) Wir müssen zeigen, dass f injektiv und surjektiv ist.
Injektiv heißt, dass jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird, d. h. aus f(x) = f(y) für x, y aus D(f) folgt immer x = y.
Surjektiv heißt, dass jedes Element der Bildmenge auch als Wert unter f vorkommt. Du hast die Bildmenge nicht explizit angegeben, ich nehme aber an, dass sie gleich Q sein soll. Dann müssen wir zeigen, dass zu jedem Element y aus der Bildmenge Q ein x aus D(f) existiert mit f(x) = y.
f injektiv:
Sei f(x) = f(y) für x, y aus D(f) =>
1,5x-3 = 1,5y-3 => 1,5x = 1,5y => x = y.
f surjektiv:
Sei y aus Q. Wir setzen y = 1,5x-3 und lösen nach x auf. Dann folgt x = y/1,5 + 2. Da y aus Q ist, ist auch x = y/1,5 + 2 aus Q=D(f).
b) Die Umkehrfunktion g: Q -> Q ist definiert durch g(x) = 2/3*x + 2 (s. Beweis der Surjektivität von f; man braucht nur x und y zu vertauschen). Es ist dann nämlich
f(g(x)) = g(f(x)) = x für alle x aus Q (einfach einsetzen und nachrechnen).
Gruß
Michael |
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