| Autor |
Beitrag |
    
Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 11:03: | 
|
Hallo,
könnt ihr mir bitte bei folgenden Aufgaben helfen?!
1. Zeigen Sie:
a) Gegeben ist eine Gerade g: x= p + t*u
Aus x = p + t*u folgt u X (x-p) = 0
[X bedeutet Kreuz; x, p, u je als Vektor]
b) Jede Gleichung der Form u X (x-p) =0 mit u ungleich 0 beschreibt eine Gerade mit dem Richtungsvektor u und dem Stützvektor p.
2. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g:
(1)
(3)X x = 0 in Parameterform an.
(-1) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4782
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 13:54: |
|
Hi Omchen
Wir wollen Deine Aufgabe behutsam angehen,
und gewisse Vorbereitengen treffen.
Zuerst seien die Regeln über das Rechnen mit
dem Vektorprodukt in Erinnerung gerufen.
Das Operationszeichen für die Bildung dieses
Produkts sei das Zeichen x oder das Wort „cross“.
Vektorprodukt Regeln
1.
Das kommutative Gesetz gilt nicht; aber es ist
b x a = - ( a x b )
Folgerung
es ist a x a = 0 (Nullvektor)
da durch Vertauschung sich einerseits nichts ändert,
andererseits das Vorzeichen wechselt
Das Ergebnis kann nur der Nullvektor sein.
2.
Das assoziative Gesetz
(a x b ) x c = a x ( b x c ) gilt nicht allgemein,
denn die linke Seite dieser Gleichung ist ein Vektor
in der durch a und b bestimmten Ebene, analog ist die
rechte Seite der Gleichung ein Vektor in der durch
b und c bestimmten Ebene.
3.
Das distributive Gesetz
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
ist gültig.
Folgerung:
es ist
(a + b ) cross ( c + d ) =
( a x c ) + ( b x c ) + ( a x d ) + ( b x d )
Man darf auch bei mehrgliedrigen Summen ausmultiplizieren
wie in der gewöhnlichen Algebra.
4.
Für beliebige reelle Zahlen u und v gilt:
(u * a) cross (v * b) = u v * ( a x b )
Im Gegensatz zu u und v sind a und b Vektoren.
Lösung der Teilaufgabe 1a):
in (x – p) = t u ist t eine reelle Zahl,
x, p , u sind Vektoren.
Wir multiplizieren den Vektor x-p „von links“ vektoriell
mit dem Vektor u und erhalten damit:
u cross ( x - p ) = u cross (t u ) = t [ u cross u ]
Zwei gleiche Faktoren im Vektorprodukt!
Richtig; das Ergebnis ist der Nullvektor, qed.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4783
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 14:27: |
|
Hi Omchen
Deine Vektorprodukt-Aufgabe ist sehr lehrreich.
In der Teilaufgabe 1b) stellt sich die Frage, wann genau
ein Vektorprodukt v = a x b
null ist (genauer:mit dem Nullvektor übereinstimmt).
Wir erinnern uns daran, wie man den Betrag eines
Vektorprodukts, hier zunächst abs(v), berechnet.
Antwort:
abs (v) = abs (a) * abs (b) * sin (tau)
tau ist der Winkel, den die Vektoren a und b einschließen.
Dieser Betrag ist null (und damit v = 0),
wenn abs(a) oder abs(b) oder
sin (tau) = 0 ist.
Bei Deiner Aufgabe ist das Produkt u cross (x-p)
auf diese Frage hin zu überprüfen.
Da u nach Voraussetzung nicht null ist,
muss x – p = 0, also x = p sein oder
sin t = 0 .
Das Letztere besagt, dass der Vektor x – p
stets parallel zum Vektor u verläuft, d.h. es gilt
x – p = t u mit t als reeller Parameter.
u ist der Richtungsvektor der Geraden,
auf der der laufende Punkt (Ortsvektor x) wandert
p ist der Ortsvektor des Aufpunktes.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4784
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 15:12: |
|
Hi Omchen
Zur Lösung der Teilaufgabe 2) wenden wir das soeben
Gelernte an.
Wir identifizieren mit den Bezeichnungen der Teilaufgabe
1b):
der Richtungsvektor der Geraden ist u ={1;3;-1},
wegen p = 0 fällt der Aufpunkt mit dem Ursprung O zusammen.
Für die Koordinaten des laufenden Punktes schreiben wir
x , y, z;
wir erhalten die drei skalaren Parametergleichungen:
x = t , y = 3 t , z = - t
Geneigte Schüler merken: t ist ein (reeller) Parameter.
Wir wollen das Resultat überprüfen und bilden
das Vektorprodukt der Vektoren u = {1;3;-1} und
m ={x;y; z}
Letzteres ist der Ortsvektor des laufenden Punktes M
der Geraden.
Nach leichter Rechnung erhalten wir:
u x m ={3 z + y ;- x – z ; y – 3x}
Dieses Vektorprodukt ist 0 , somit gilt:
3 z + y = 0 ; - x – z = 0; y – 3x = 0
Verwende –z als Parameter t und der Kreis schließt
sich;es entsteht dann nämlich:
x = t , y = 3 t , z = - t wie vormals.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Omchen (Omchen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 20:02: |
|
Vielen Dank für die Hilfe! |
|
