    
Christian009 (Christian009)
Junior Mitglied
Benutzername: Christian009
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 15:33: | 
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Ich habe die Punkte
P1(10|0|10)
P2(10|12|10)
P3(6 |3 |12)
um daraus die Koordinatenform zu bilden stelle ich folgendes LGS auf.
10x1+ 0x2+10x3= b
10x1+12x2+10x3= b
6x1+ 3x2+12x3= b
wie muss ich jetzt weiterrechnen um auf die Koordinatenform zu kommen?
vielen Dank,
Christian |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 910
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 21:57: |
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Ich nehme an, es soll die Gleichung der Ebene P1P2P3 berechnet werden.
Diese lautet allgemein:
ax1 + bx2 + cx3 = d
a, b, c und d sind die Koeffizienten der Ebenengleichung.
Darin müssen statt der laufenden Koordinaten x1, x2, x3 (!!) die Koordinaten jeweils eines der gegebenen Punkte eingesetzt werden, wir erhalten ein lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen in den Variablen a, b, c, d, die die Koeffizienten der Ebenengleichung darstellen.
Da die Gleichung der Ebene bis auf einen Faktor bestimmt ist (sie kann auf beiden Seiten mit einem beliebigen Faktor multiplizierte werden, ohne dass sich etwas an der Ebene ändert), kann eine der vier Zahlen a, b, c, oder d als konstant (gegeben) vorausgesetzt werden. Welche das sein wird, entscheidet sich bei der Auflösung des Systemes, denn wir können dies unter Umständen nicht für jede beliebige tun, wenn eine der Größen zwangsläufig einen bestimmten Wert annehmen muss.
10a + 10c = d
10a + 12b + 10c = d
6a + 3b + 12c = d
--------------------
10a + 10c = d |-
10a + 12b + 10c = d
--------------------
12b = 0
b = 0
°°°°°
Wir sehen, dass für b keine Wahlfreiheit besteht!
10a + 10c = d |*6
6a + 12c = d |*5 |-
------------------------
30a = d
--------------
Wir setzen nun (ohne Beschränkung d. weiteren Allgemeinheit)
d = 30
°°°°°°
die restlichen Größen müssen sich daraus ergeben!
-> a = 1
°°°°°°°°°
-> aus 1.:
10 + 10c = 30 -> c = 2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Somit lautet die Ebene:
x1 + 2x3 = 30
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Es gibt auch andere Wege zur Ermittlung der Ebenengleichung. Mit einem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren entsteht die Parameterform und daraus die Koordinatenform. Auch über den Normalvektor der zwei Richtungsvektoren (als Vektorprodukt) gelangt man zum Ergebnis.
Gr
mYthos
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