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Fabian123 (Fabian123)
Neues Mitglied
Benutzername: Fabian123
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 11:58: | 
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Hallo,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse mithilfe der in dem Bild (http://people.freenet.de/fabianhueger/Ellipse.JPG)erkenntlichen Festsetzungen entwickeln kann? Das scheint mir eine sehr knifflige Aufgabe zu sein, die ich auch nach langem Überlegen nicht lösen konnte. (Wie ich sie aus der MPgleichung des Kreises entwickeln kann ist mir bekannt.)
Über einen Tipp wäre ich sehr erfreut.
Mit freundlichen Grüßen,
Fabian
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Fabian123 (Fabian123)
Neues Mitglied
Benutzername: Fabian123
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 13:11: |
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Schon gefunden...
Wenn´s jemanden interessiert:
http://www.pimath.de/geo/geo8.html
Mfg,
Fabian |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 860
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 13:25: |
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Hi!
Beginnen wir mal so:
Betrachten wir den Ellipsenpunkt (b,0), dann sehen wir, dass gilt:
s + t = 2e + (b-e) + (b-e) = 2b für alle Punkte, da s+t konstant ist.
Nach Pythagoras gilt außerdem:
s² = (e+x)² + y²
und:
t² = (e-x)² + y²
Durch Subtraktion der beiden Gleichungen erhalten wir:
s²-t² = 4ex
Da aber gilt (3. binomische Formel):
s²-t² = (s+t)(s-t)
und wir s+t bereits kennen:
s²-t² = 2b(s-t)
erhalten wir:
s-t = 4ex/2b = 2ex/b
Wenn wir den Ellipsenpunkt (0,a) betrachten, stellen wir außerdem fest:
a² + e² = b² <=> e² = b² - a²
Nun addieren wir die Gleichungen von vorhin (für s² und t²):
s²+t² = 2e² + 2x² + 2y²
Mit der gerade erhaltenen Beziehung ersetzen wir e²:
s²+t² = 2(b²-a²) + 2x² + 2y²
Jetzt überlegen wir: Es wäre schön, wenn wir links noch ein gemischtes Glied hätten, denn dann könnten wir eine binomische Formel anwenden, denn wir wissen, dass s+t = 2b. Also ergänzen wir auf beiden Seiten 2st:
s²+2st+t² = 2st + 2(b²-a²) + 2x² + 2y²
Und erhalten mit der 1. binomischen Formel und s+t=2b:
4b² = 2st + 2b² - 2a² + 2x² + 2y²
Nun wollen wir mal das lästige 2st loswerden. Dazu müssen wir Terme für s und t herleiten. Wir haben:
s+t = 2b
s-t = 2ex/b
Also:
s = b + ex/b
t = b - ex/b
Das setzen wir ein und erhalten:
4b² = 2(b + ex/b)(b - ex/b) + 2b² - 2a² + 2x² + 2y²
Nun vereinfachen wir:
4b² = 2b² - 2e²x²/b² + 2b² - 2a² + 2x² + 2y²
<=>
0 = -e²x²/b² - a² + x² + y²
Jetzt ersetzen wir e² mit der bereits bekannten Beziehung:
0 = -(b²-a²)/b² - a² + x² + y²
= -x² + a²x²/b² - a² + x² + y²
= a²/b²*x² - a² + y²
Nun teilen wir das Ganze mal durch a²:
0 = x²/b² - 1 + y²/a²
Und sortieren um:
y²/a² + x²/b² = 1
Fertig!
MfG
Martin
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 861
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 13:27: |
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Na gut, aber ich habe es zumindest ohne Trigonometrie gemacht... 
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1695
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 13:41: |
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na, ist ja recht interessant,
aber wo ist da die Herleitung von Ortslinien
Definition ( Summe der Abstände von den Brennpunkten konstant 2a ) ausgehend, wie es DEIN
Bild aus dem 1tem Posting verlangt?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Fabian123 (Fabian123)
Neues Mitglied
Benutzername: Fabian123
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 13:55: |
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U R A GENIUS!
Sehr gut! Diese Lösung ist sicher die schönste (und auch zu der Aufgebenstellung die wohl einzig passende).
Nur eins noch: Wie kommstdu bei Betrachtung von (0,a) auf a²+e²=b²?
Sonst ist alles sehr verständlich und ausführlich dargestellt.
Tausend Dank dafür!
Fabian
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1697
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 14:49: |
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@Fabian, falls Du mich angesprochen haben solltest:
üblich ist es, die halbe Hauptachsenlänge mit a
zu bezeichnen.
e ist der Abstand Mittelpunkt-Brennpunkt.
Von
den Nebenscheiteln N aus
muss
NF1=NF2 = Wurzel(e²+b²)
und
NF1+NF2=2a, daher NFi=a
also
a² = e²+b²
gelten
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Fabian123 (Fabian123)
Neues Mitglied
Benutzername: Fabian123
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 14:58: |
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Meine Frage hat sich erledigt:
a²+e²=s²=t² und wegen s+t=2b ergibt sich a²+e²=b².
@Friedrichlaher:
Du hast recht: Die trigonometrische Lösung ist keine Lösung der von mir gestellten Aufgabe.
Schönen Dank für deine Lösungsbemühungen. Nach langer Überlegung habe ich auch deinen Ausführungen folgen können. Aufgrund des allgemeinen Bezuges und auch der Kürze favorisiere ich diese vor Martins Lösung.
Vielen Dank,
Fabian
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Fabian123 (Fabian123)
Junior Mitglied
Benutzername: Fabian123
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 17:01: |
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Hier die fertige Lösung als Word-doc:
Danke an alle,
Fabian |
qwertz
Unregistrierter Gast
Autor: 80.171.94.242
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2014 - 11:49: |
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Danke |
Lösung als vollst. Druckversion
