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Nic (Nic)
Mitglied Benutzername: Nic
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 13:33: |
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Hallo! Brauche unbedingt Hilfe bei diesem Beispiel: Wie berechnet man das òcos^n(x).dx? nic |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1626 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 13:39: |
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durch mehrfache partielle Integration, bis schliesslich co²x = (1 + cos(2x))/2 verwendet werden kann. Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 283 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 21:22: |
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Hi,also: òcosn(x)dx=[cosn-1(x)*sin(x)]/n+(n-1)/n*òcosn-2(x)dx (n¹0) Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2901 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 10:38: |
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Hi Olaf Die Fragen von nic möchte ich etwas eingehender beantworten als bisher geschehen. Du hast dabei gute Vorarbeit geleistet; der erste Schritt mit partieller Integration liefert dieses schöne Resultat, bei welchem der Exponent von cos(x) im Integral rechts um eine Zwei verringert wird. Im Sinne einer Rekursion erhält man zum Beispiel die Folge: int [(cos x)^8 dx] = 1/8{cos(x)}^7 sin x+7/8 int [(cos x)^6 dx] int [(cos x)^6 dx] = 1/6{cos(x)}^5 sin x+5/6 int [(cos x)^4 dx] int [(cos x)^4 dx] = ¼ {cos(x)}^3 sin x+ ¾ int [(cos x)^2 dx] int [(cos x)^2 dx] = ½ cos(x) sin x+ ½ x Berechne in analoger Weise die Integrale über cos(x) mit den Exponenten 7 , 5 , 3 , 1 Wichtige Bemerkung. Bei ungeraden Exponenten n = 2m+1 geht man mit Vorteil anders vor ,hihi! Ersetze im Integranden (cosx)^2 durch1 – (sinx)^2 , substituiere sin x = z , cos x dx = dz. Beispiel: n= 7 int [(cos x)^7 dx] = int [{1- (sin x)^2}^3 * cos x dx] = int[{1 - z^2 }^ 3 dz ] = int [{1 – 3 z^2 + 3 z^4 – z^6} dz = = z – z^3 + 3/5 z^5 - 1/7 z^7; ersetze nun z durch sin x voilà ! Bitte auf Tippfehler überprüfen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Nic (Nic)
Mitglied Benutzername: Nic
Nummer des Beitrags: 18 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 11:59: |
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Vielen Dank für eure Hilfe! Ihr wisst ja gar nicht wie sehr ihr mir geholfen habt! Vlg nic |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 284 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 16:43: |
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Hi Megamath, Das sieht ja mal wieder sehr interessant aus! Werde ich mir später genauer ansehen. Gruß,Olaf |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 285 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 20:45: |
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Hi Megamath, Das ist ja echt clever,danke! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2906 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 20:50: |
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Hi Olaf, es wird noch cleverer, hihi ! Ein wenig Geduld noch! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2907 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 21:10: |
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Hi Olaf Richtig interessant wird die Angelegenheit, wenn wir die bestimmten Integrale von {cos(x)}^n in den Grenzen 0 bis ½ Pi rechnen! für gerade n (even integer) kommt als Resultat: even (n) = [1*3*5*…*(n-1)] / [2*4*6*..*n] * ½ Pi für ungerade n (odd integer) kommt als Resultat: odd (n) = [2*4*6*…*(n-1)] / [1*3*5*..*n] In einem nächsten Beitrag sollen even (4) und odd(3) berechnet werden. Zur Bestätigung wird die Gammafunktion ins Spiel gebracht. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2908 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 21:39: |
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Hi Olaf Es zeigt sich, dass man mit Hilfe der Gammafunktion GAMMA (x) die in der letzten Arbeit erwähnten Werte even (n) und odd (n) sehr elegant ausdrücken kann. Es gilt für beide Fälle (Bezeichnung Y(n) , n> -1); alles steckt nun unter einem Hut, eben der Gammafunktion: Y(n) = ½ sqrt(Pi) * GAMMA [½(n+1)] / GAMMA [½n + 1] Wir benötigen drei Gamma-Werte. GAMMA(2) = 1! = 1 Gamma(3) = 2! = 2 GAMMA (2,5) = ¾ *sqrt(Pi) Das genügt vollauf; wir rechnen odd(3) = (2 * 4) / (1 * 3 ) = 2/3 Y(3) = ½ sqrt (Pi) * GAMMA(2) / Gamma(2,5) = 2/3, bravo! even(4) = (1 * 3) / (2 * 4 ) * ½ Pi = 3/16 * Pi Y(4) = ½ sqrt (Pi) * GAMMA(2,5) / Gamma(3) =3/16 * Pi, bravo! Es ist reizvoll, via Gammafunktion Y(3) * Y(4) zu berechnen; GAMMA(2,5) fällt aus der Rechnung, hihi ! Resultat: Y(3)*Y(4) = Pi / 8, ein herrliches Resultat, das im Verein der Freunde der Zahl Pi in Wien kaum bekannt sein dürfte. MfG H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 286 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 21:50: |
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Hi Megamath, Super,das werde ich morgen genau studieren! Gruß,Olaf |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1631 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 21:55: |
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zur Stammfunktion sollte man der Vollständigkeit halber auch nicht vergessen daß cosnx "geschlossen" dargestellt werden kann. Die Integration kann nun partiell erfolgen, oder man verwendet cosu * cosv = +[cos(u+v) + cos(u-v)]/2 sinu * sinv = -[cos(u+v) - cos(u-v)]/2 (Beitrag nachträglich am 01., November. 2003 von friedrichlaher editiert) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 915 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 22:16: |
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Hi megamath, Meine Anerkennung, das vereinfacht jetzt aber einiges! Wozu die Gammafunktion doch gut ist... Ich frage mich nur woher du immer diese ganzen Sachen herholst, so ganz überraschend... mfg
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1632 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 06:19: |
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in meinem Beitrag vom 1.Nov. habe ich etwas zu umständlich gerechnet, das Ergebnis hätte sich sofort nach der 3ten Zeile ergeben weil eix(k-n+k)=eix(2k-n)= cos(2k-n) + i*sin(2k-n) also, wie auch einfach durch Umkehranwendung von cos(u-v) aus der letzen Zeile (2ncosn= ....) hervorginge cosnx = 2-nSumme[(n über k)cos(nx-2kx),k=0 bis n] (ein Dumpfes Gefühl, ich könnte einen Fehler gemacht haben, hatte mich 10 nach 5 aus dem Bett getrieben) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 287 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 10:54: |
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Hi, @Friedrich Danke für Deinen Beitrag,werde ich mir später auch genauer anschauen. Zunächst muß ich mich aber etwas mehr mit der Gammafunktion vertraut machen,da habe ich noch Nachholbedarf. Gruß,Olaf |