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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2669
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 17:31: | 
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Hi allerseits,22.09.18:31
In der lockeren Folge XXXVII ist eine goniometrische Gleichung
zu lösen und zwar sind alle Lösungen x zu finden, die
im Intervall 0 < = x < 2 Pi liegen.
Die Gleichung lautet
2 sin [ ½ x + ¼ Pi] * cos [3/2 x - ¼ Pi] = ( cos x ) ^ 2
Lückenlose Herleitung erwünscht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R. Moser
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 877
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 20:47: |
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Hi Megamath,
die Lösungen der Aufgabe sind:
x=0;x=pi;x=-arcsin(4/5)
Ich bitte sie um etwas geduld- Ich präsentiere morgen die Herleitung.
mfg
Niels
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2671
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 21:02: |
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Hi Niels,22.09.22:02
Ich habe im Wesentlichen dasselbe Resultat.
Untersuche,ob nicht auch x = Pi/2 und x = 3 Pi/2
Lösungen sind, Pi hingegen nicht.
Danke für Deine Bemühungen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 878
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 21:33: |
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Hi Megamath,
du hast vollkommen rcht! Pi ist keine Lösung wie zuerst angenommen und pi/2 bzw 3pi/2 sind dafür Lösungen. Ich habe den Lösungsweg korrigiert und präsentiere ihn morgen.
mfg
Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2680
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 07:32: |
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Hi allerseits,24.09.08:32
Ein aufmerksamer Leser dieses Boards
hat mich darauf hingewiesen, dass noch keine
vollständige Lösung dieser schönen Aufgabe
vorliege.
Ich glaube, es ist an der Zeit, dies nachzuholen,
und ich werde mich dieser Aufgabe gerne unterziehen.
Grundlage für den Einstieg ist die Formel
2 sin u cos v = sin(u+v) + sin (u-v)
Für unser Beispiel setzen wir an:
u = ½ x + ¼ Pi
v = 3/2 x - ¼ Pi
somit
u + v = 2 x
u – v = ½ Pi – x
Die linke Seite der gegebenen Gleichung lautet nun so:
sin (2x)+sin (½ Pi – x) = sin (2x)+cos x = 2 sinx cos x+cos x
die ganze Gleichung kann somit so geschrieben werden:
cos(x) [2 sin x + 1 ] = [cos x]^2…………………………………………….(Y)
Fallunterscheidung
I.
cos x = 0 führt auf
x1 = ½ Pi, x2 = 3/2 Pi
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als Lösungen.
II.
cos x ist von null verschieden; wir heben in der Gleichung (Y)
den Faktor cos x weg; es erscheint die einfachere Gleichung
2 sin x + 1 = cos x…………………..……………………………………………..(€)
Wir quadrieren die Gleichung (€):
4 (sin x)^2 + 4 sin x + 1 = (cos x)^2 = 1 – (sin x)^2,mithin:
5 z^2 + 4 z = 0 mit z = sin x.
z1 = 0, z2 = - 4/5
Aus z1 = 0 folgt x = 0 und x= Pi ;
nur x = 0 löst die gegebene Gleichung,sie erhält die Nummer 3
x3 = 0
°°°°°°
Aus z2 = - 4/5 folgt als vierte Lösung
x4 = arc sin(-0,8)
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Anmerkung:
Die letzte Angabe ist zu präziseren.
Da cos x4 = - 0,6 gilt, wie man leicht nachrechnet, liegt
x4 zwischen 180° und 270°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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