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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2600
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 16:20: | 
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Hi allerseits
Bei der Dreiecksaufgabe 52 ist ein Extremalproblem
zu lösen.
In einem cartesischen Koordinatensystem ist ein
gleichschenkliges Dreieck ABC gegeben:
A(- a / 0), B(a / 0), C(0 / h)
Diesem Dreieck ist eine Parabel mit Scheitel im
Nullpunkt so einzubeschreiben, dass das im Dreieck
liegende Parabelsegment maximale Fläche hat.
Wie gross ist diese maximale Fläche;welchen Bruchteil
der Dreiecksfläche füllt sie aus?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 873
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 19:37: |
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Hi megamath,
nach einer längeren Fehlzeit von mir (wir hatten Rekrutenbesichtigung und am Freitag ist Feierliches Gelöbnis), stehe ich nun schon länger vor diesem Problem.
Gibt es einen anderen Weg als die Integralrechnung um dieses Problem zu lösen? Das verläuft bei mir immer im Sand, aber bei dem Parabelinhalt kenne ich keine "nicht-analytische" Methode um den Flächeninhalt zu bestimmen...
Vielleicht ein kleiner Tipp aus deinem "etwas" größerem Fundus an Formeln :-) ?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2614
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 20:22: |
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Hi Ferdi,
Ich häbe Dich kaum wiedererkannt.
Die Régie in Zahlreich war tätig;
cui bono? wem nützt das? möchte man fragen.
Da gibt es wohl keine Antwort.
Auf Deine Frage hingegen gehe ich morgen näher ein.
Ich bin mit dem Konzept zur Dreiecksaufgabe 62(!)
ganz in Anspruch genommen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2617
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 09:41: |
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Hi Ferdi,
Die folgenden Hinweise sollten Dir weiterhelfen:
Die Fläche des Parabelsegments findest Du nach
Archimedes als Produkt
2/3 mal Grundlinie mal Höhe,
eine zur Dreiecksformel analoge Formel, die man sich
gut merken kann und auf die ich in späteren Dreiecksaufgaben
zurückkommen werde.
Wenn Du das gleichschenklige Dreieck so in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem legst, dass die Basis auf
der x-Achse und die Spitze auf der y-Achse liegt,
findest Du leicht die Gleichung einer Schenkelgeraden.
Auf ihr liegt der Schnittpunkt der Parabel mit diesem Schenkel.
Die zugehörige Parabelsehne dient als unabhängige Variable
und spielt bei der Flächenberechnung die Rolle der oben erwähnten
Grundlinie…………
Jetzt sollte es gehen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 875
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 17:40: |
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Hi megamath,
irgendwie klemmt es bei mir. Vielleicht bin ich schon zu viel Soldat :-).
Also:
Eine Schenkelgerade lautet:
y = -h/a * x + h
So, die Parabel sei:
y = b * x ^ 2
Schnittpunkte dieser sind dann:
[-h/a +- sqrt( (h/a)^2 + 4 * h * b )]/2
Wobei ich nur die positive Lösung in Betracht ziehen würde.
Nur hier hänge ich jetzt. Diese Sehen verläuft doch dann vom Schnittpunkt zu ( 0 | h ), oder? Ich muss am Ende doch eine Funktion in Abhängigkeit von b erhalten, also f(b) und diese dann auf Extrema untersuchen?
Ich merke mir fehlt die Übung in sowas. Ab 1.10. wird sich das ändern , dann werde ich befördert zum Gefreiten, und habe mehr Freiheiten, vorallem für Mathe...
mfg
PS: zitierst du Cicero, mit "cui bono"? Ich habe bemerkt, das du viele lateinische Sprichwörter einstreust! Dir scheint die Sprache zu gefallen, genau so wie mir... |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2621
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 20:13: |
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Hi Ferdi,
Motto: carpe diem !
Das ist gut, werde Gefreiter und nütze die Freiheit und die
freie Zeit für Mathe!
Das ist die allerbeste Investition.
Um jetzt schon Zeit zu sparen, zeige ich Dir die Lösung.
Du bist bei dieser Aufgabe in eine Sackgasse geraten,
das kann passieren, es ist nicht weiter schlimm.
Die mehrfach erwähnte Sehne der Parabel ist parallel zur Scheiteltangente
und daher parallel zur x-Achse und geht nicht durch C(0/h).
Die Parabelgleichung hast Du richtig angesetzt, wir benötigen sie aber gar
nicht.
Der im ersten Quadranten liegende Endpunkt P der Sehne PQ habe
die Koordinaten
xP= u, yP = v.
Weil P auf dem Schenkel BC liegt, gilt v = - h / a * u + h
u ist die unabhängige Variable beim folgenden Rundumschlag.
Fläche des Parabelsegments:
F = F(u) = 2/3 PQ * v = 2/3 * 2 * u * v = 4/3 h ( u – u^2 / a ).
Diese quadratische Funktion hat für u = u*= ½ a ihr Maximum.
Die maximale Fläche ist wegen v* = ½ h:
Fmax = 2/3 a * ½ h = a h / 3; das ist der dritte Teil
der Dreiecksfläche.
PS
Cicero ist richtig; die lateinische Grammatik ist fast so spannend
wie die elementare Geometrie.
Schau auf die Uhrzeit: Bettzeit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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