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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2589
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 13:13: | 
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Hi allerseits,
Die Dreiecksaufgabe 50 ist eine Jubiläumsaufgabe;
es ist wiederum eine Ortskurve zu bestimmen.
Sie ist ziemlich anspruchsvoll und zur Lösung sind
einige Register zu ziehen.
Sie lautet:
Von einem Dreieck ABC ist die Seite BC = a = 6 und die
Seitensumme AB + AC = 10 gegeben.
Welches ist die Ortskurve des Inkreismittelpunktes
des Dreiecks?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2598
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 14:30: |
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Hi,
Es wäre nicht ganz fair von mir, zu dieser
schwierigen Aufgabe keine Hilfen anzubieten.
Ich sage mit ein paar Stichworten, wie ich
(bei dieser Aufgabe) zum Erfolg gekommen bin.
1.
Selbstverständlich habe ich auch hier ein passendes
cartesisches Koordinatensystem gewählt.
Die Koordinaten der Ecken des Dreiecks sind:
A(x/y),B(-3/0),C(3/0)
Daraus und aus der Seitensumme AB + AC = 10 folgt,
dass A auf einer Ellipse in Mittelpunktslage läuft.
Die grosse Halbachse ist m = 5 (auf der x-Achse abzutragen);
die lineare Exzentrizität ist e = 3; daraus ergibt sich
die kleine Halbachse n = 4 (auf der y-Achse)
Gleichung dieser Ellipse:16 x^2 + 25 y^2 = 400.
2
Zweckmässig ist die Darstellung dieser Ellipse in
Parameterform:
x = 5 cos t , y = 4 sin t.
Fortsetzung folgt
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2599
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 15:13: |
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Hi,
Fortsetzung der Lösungshilfen
2
In der Parameterdarstellung der Ellipse
x = 5 cos t , y = 4 sin t gilt für t das Intervall
0 < = t < 2 Pi
3.
Stelle den Inkreisradius rho als Funktion des
Parameters t dar.
Resultat: rho = 3/2 * sint.
4.
Mit dem Wert für rho bekommst du gerade die Ordinate v
des Inkreismittelpunktes I(u/v).
5
Um I(u/v) endgültig zu bestimmen, ermittle die
Innenwinkelhalbierende w bei der Ecke A.
Schneide w mit der Parallelen zur x-Achse
y = plus/minus rho
So findest Du v = v(t)
Am besten ist es, einen Richtungsvektor von w mit den
bekannten Methoden der Vektorrechnung zu ermitteln.
6.
Eliminiere t aus der Parameterdarstellung
u = u(t), v = v(t)
7.
Überprüfe die Rechnung und deute das Ergebnis.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2604
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 08:34: |
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Hi allerseits,
Es folgen die wesentlichen Lösungsschritte und Teilresultate
zur Dreiecksaufgabe 50.
1.
Wähle ein passendes cartesisches Koordinatensystem, etwa so:
Koordinaten der Ecken des Dreiecks :
A(x/y), B(-3/0), C(3/0)
Daraus und aus der Seitensumme AB + AC = 10 folgt,
dass A auf einer Ellipse in Mittelpunktslage läuft.
Die grosse Halbachse ist m = 5 (auf der x-Achse abzutragen);
die lineare Exzentrizität ist e = 3; daraus ergibt sich
die kleine Halbachse n = 4 (auf der y-Achse)
Gleichung dieser Ellipse:16 x^2 + 25 y^2 = 400.
2
Zweckmässig ist die Darstellung dieser Ellipse in
Parameterform:
x = 5 cos t , y = 4 sin t
mit 0 < = t < 2 Pi
3.
Stelle den Inkreisradius rho als Funktion des
Parameters t dar.
Mit dem halben Umfang s und der Fläche F des Dreiecks ABC
bekommen wir wegen F = ½ 6 * 4 sin t = 12 sin t
mit der Formel F = s rho das Zwischenresultat
rho = 3/2 * sint.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2606
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 09:55: |
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Hi allerseits,
Fortsetzung Lösungsschritte zur Dreiecksaufgabe 50.
4.
Mit dem Wert für rho bekommen wir gerade die Ordinate v
des Inkreismittelpunktes I (u/v) ; also
v = 3/2 * sin t.
5
Um I(u/v) endgültig zu bestimmen, ermitteln wir die
Innenwinkelhalbierende wi bei der Ecke A.
Am besten ist es, einen Richtungsvektor von wi mit den
bekannten Methoden der Vektorrechnung zu ermitteln.
Dazu brauchen wir die Abstände r1 und r2 des laufenden
Punktes A( 5 cos t / 4 sin t) der Ellipse von den Punkten
B (-3/0) und C(3/0).
Nach leichter Rechnung finden wir das verblüffend einfache
Resultat:
r1 = 5 + 3 cos t ,
r2 = 5 - 3 cos t
daraus prophylaktisch:
r1 * r2 = 25 – 9 cos^2 t
Nun stellen wir die Richtungseinheitsvektoren w1, w2
der Seiten AB und AC auf, damit mit deren Summe
w = w1 + w2
einen Richtungsvektor w von wi entsteht.
Resultate:
w1 = 1 / r1 {-3 – 5 cos t ; - 4 sin t ]
w2 = 1 / r2 { 3 – 5 cos t ; - 4 sin t ]
Resultat fix und fertig ausgerechnet und vereinfacht:
w = {4 cos t ; 5 sin t }
Gleichung der Winkelhalbierenden wi mit s als Parameter:
x = 5 cos t + s * 4 cos t
y = 4 sin t + s * 5 sin t
6.
Um den Inkreismittelpunkt I(u/v) zu bekommen,
schneiden wir die Gerade wi mit der Parallelen
y = rho = 3/2 sin t zur x-Achse;
Ergebnis ( mit s = - ½ ) :
u = 3 cos t
v = 3/2 sin t
Das ist eine Parameterdarstellung der Ellipse
9/4 u^2 + 9 v ^2 = 81/4 oder
9 u ^2 + 36 v ^2 = 81
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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