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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2570
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. September, 2003 - 17:00: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 46 ist eine Ortskurve zu bestimmen.
In einem cartesischen Koordinatensystem sind die Ecken
ABC eines Dreiecks wie folgt gegeben:
A(0/0), B(2p/0), C(p/1).
Fasse p als Parameter auf und beweise:
Die Ortskurve (p als Variable) des Umkreismittelpunktes
ist eine Parabel.
Wo liegt der Brennpunkt der Parabel?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 860
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 12:42: |
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Hallo Megamath,
offen gesagt bin ich über das Ergebnis was ich zu dieser Aufgabe ausgerechnet habe etwas überascht.
mein Vorschlag als Ortskurve:
y=(1-x²)/2
oder M(p|(1-p²)/2)
richtig, oder sollte ich mich verrechnet haben?
einfach die 3 Punkte in allgemeine Kreisgleichung einsetzen und stupide ausrechnen...oder gibt es ein anderes
Lösungsrezept?
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2573
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 14:00: |
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Hi Niels
Deine Gleichung für die Ortskurve ist richtig!
Ich habe die Mittelsenkrechte x = p der Seite AB
mit der Mittelsenkrechten
2 p x - 2 y = 3 p^2 – 1 der Seite BC geschnitten
und dann p eliminiert.
Der Brennpunkt F der Parabel lässt sich leicht finden.
Berechne die Koordinaten des Scheitels und den
Parameter q der Parabel.
Wenn ich mich nicht täusche, liegt F auf der x-Achse,
und zwar im Nullpunkt.
Die Aufgabe sollte als Einführungsaufgabe in die Welt
der Ortskurven einfach sein; es kommt schon noch
ein wenig schwieriger,das verspreche ich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 233
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 23:10: |
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Hi,
Hier auch nochmal meine Lösung im Detail...
Mittelsenkrechte auf AB:
x=p
Steigung der Geraden durch A und C:
mAC=(1-0)/(p-0)=1/p
=>
Steigung der Mittelsenkrechten von AC:
mACs=-p
y=-p*x+a0
mit D(p/2|1/2):
1/2=-p*p/2+a0
=>
a0=(p2+1)/2
=>
y=-p*x+(p2+1)/2
mit p=x:
y=(1-x2)/2
bzw.
x2+2y-1=0
Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes:
ax2+by2+cx+dy+e=0
Wir erhalten eine Parabel für
a=0,b¹0
oder
b=0,a¹0,
was offensichtlich ist hier der Fall ist.
Berechnung von Scheitelpunkt und dem Parameter q:
Hauptform der Parabelgleichung:
(y-y0)2=2q(x-x0)
bzw.
(x-x0)2=2q(y-y0)
Umformung der bestimmten Parabelgleichung:
x2=-2x+1
x2=-2(y-1/2)
=>
x0=0,y0=1/2,q=-1
Scheitelpunkt:
S(0|1/2)
Der Abstand des Brennpunktes F vom Scheitelpunkt S beträgt q/2,d.h. F liegt genau
im Ursprung.
Dreiecksaufgabe 45 ist wohl in ähnlicher Weise zu lösen...
Gruß,Olaf
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2577
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 07:44: |
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Hi Olaf
Besten Dank für Deine ausführliche Lösung,
sie ist ok.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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