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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2504
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 14:37: | 
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Hi allerseits,
Vierecksaufgabe VA 23
Hier sollen nochmals allgemeingültige Formeln
hergeleitet werden, diesmal für ein Sehnenviereck.
Ein Sehnenviereck hat die Seiten a, b ,c d
(übliche Bezeichnungsart).
Drücke die Diagonalen e und f je durch diese
Seiten aus.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 852
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 16:35: |
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Hi megamath,
wie wäre es mit:
e^2 = ( a^2bc + bcd^2 + ab^2d + ac^2d ) / ( ad + bc )
f^2 = ( abc^2 + abd^2 + a^2cd + b^2cd ) / ( ab + cd)
Sollten die Ergebnisse stimmen folgt später eine Herleitung, jetzt will ich mich erst einmal ausruhen...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2506
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 18:07: |
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Hi Ferdi,
Bravo !*
Ich werde meine Lösung ins Netz stellen; damit bist Du entlastet.
Bald erscheint Nr. 24.
MfG
H.R.Moser,megamath
MfG
H.R.Moser. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2507
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 19:07: |
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Lösung der VA 23
Mit dem Kosinussatz berechnen wir e auf zwei Arten:
Im Dreieck ABC:
e^2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2 a b cos(beta)
Im Dreieck DAC:
e^2 = c ^ 2 + d ^ 2 – 2 c d cos(delta)
Wir machen von der Voraussetzung Gebrauch,
dass ein Sehnenviereck vorliegt
Dann sind die Winkel beta und delta supplementär
und es gilt: delta = 180°- beta, also cos delta = - cos beta
Die beiden Gleichungen lauten:
e^2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2 a b cos(beta)
e^2 = c ^ 2 + d ^ 2 + 2 c d cos(beta)
Wir eliminieren cos (beta):
Resultat
[a^2+b^2-e^2] / 2 a b = [e^2 - c^2 - d^2] / 2 c d ;
Auflösung nach e^2:
e^2 [a b + c d ] = c d [a^2 + b^2] + a b [c^2 + d^2]
oder
e ^ 2 * [a b + c d ] = (ad + bc) (ac +bd)……………………………..(231)
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analog findet man für f:
f ^ 2 * [a d + b c ] = (ab + cd) (ac +bd)……………………………..(232)
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MfG
H.R.Moser,megamath
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