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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 808
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 22:14: | 
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Hi,
hier noch schnell W2, dann verabschiede ich mich!
Gegeben sei:
- ein Laplace-Würfel
- die Funktionenschar fs = [x^2 + 4x + s] * e^-(2x) { s € R }!
1.) s sei die Anzahl bei einmaligen Würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat fs zwei reele Nullstellen?
2.) Es wird zweimal gewürfelt! Die Differenz der Augenzahlen sei s! Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat fs jetzt zwei reele Nullstellen ?
3.) s sei die Auganzahl bei einmaligen Würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat fs einen Hochpunkt?
4.) Gibt es ein s so, dass fs auf R+ Dichte ist?
Lösungen erwünscht, meine gibt es frühestens nach meiner Rückkehr vom Geländeeinsatz nächsten Freitag!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 812
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Juli, 2003 - 16:48: |
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Hi,
hier wie versprochen die Lösung zu W2:
Ich setze mal vorraus das jedem der Laplace Würfel bekannt ist, ansonsten nachfragen!
1.)Wir bemühen die Analysis! Man untersucht die Funktionesschar auf Nullstellen:
(x^2+4x+s)*e^(-2x)=0 ==> x^2+4x+s=0
Dieses Polynom hat die Nulstellen:
-2±Ö(4-s)
wobei es genau zwei reele Nullstellen hat wenn die Diskriminante >0 ist: 4-s>0 ==> s<4!
Nun zu unserem Würfel, für s<4 kommt auf dem Laplace Würfel nur 1, 2 und 3 in Frage, also P(1)+P(2)+P(3)=P(2 reele NST)=0,5 !
Man erhält bei einfachem Wurf mit einer Wkeit von 50% zwei reele Nullstellen!
2.) Wir erstellen uns erstmal eine Tabelle mit den Wkeiten für die Differenzen:
| D: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | p: | (1/6) | (5/18) | (2/9) | (1/6) | (1/9) | (1/18) |
Kleiner Test: S5 i=0 pi = 1 Stimmt!
Jetzt wieder P(2 relle NST)=P(0)+P(1)...=(5/6)!
Bei der Differenz bei zweifachem Wurf erhält man mit einer Wkeit 83,33% zwei reele Nullstellen!
3.)So jetzt benötigen wir die Bedingung für einen Hochpunkt! Man erhält sie wie bekannt durch die erste Ableitung, man erhält t<4,25!
Also P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=P(Hochpunkt)=2/3
Mit einer Wkeit von 66,67% erhält man bei einmaligen Würfeln einen Hochpunkt!
4.) Man bednke die beiden Bedingungen für eine Dichtefunktion auf R+:
I) ò0 ¥ f(x) dx =1 und(!) II)f(x)³0
II) gilt erst ab s=0, hier ist aber ò0 ¥ f(x) dx = (5/4) > 1!
Es gibt kein s, so dass fs auf R+ Dichte ist!
mfg |
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