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*** (hydra)
Neues Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 09:13: | 
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An alle Freunde der konstruktiven Geometrie!
Konstruiere das flächengrößte Dreick mit vorgegebenem Seitenverhältnis a:b und bekannter Seitenlänge c.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 10:16: |
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der Ort aller Punkte für die das Verhältnis der Abstände von 2 Punkten konstant ist ist ein Kreis ( Appolonischer ).
Der 3te Punkt des gesuchten 3ecks ist also ein Berührungspunkt einer Tangente dieses Kreises die parallel zur Seite c ist.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2195
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 10:37: |
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Hi ***,
Ich bin hocherfreut darüber, dass Du solche Aufgaben
ins Netz stellst, und ich bitte darum, damit weiter zu fahren !***
Solche Übungen sind wirklich notwendig und erfüllen den Zweck,
einem so sehr vernachlässigten Gebiet an den Gymnasien,
der konstruktiven Geometrie nämlich, etwas auf die Beine zu helfen.
Ich bin gespannt, wie das Echo ausfällt.
Mit meiner Lösung möchte ich noch zurückhalten.
An Stelle einer konstruktiven Lösung gestatte ich mir,
Deine Aufgabe zu erweitern durch ein numerische Beispiel,
das durchgerechnet werden soll.
Gegeben sei c = 6 ; a:b = 2.
Berechne die Seiten a und b.
a) unter Verwendung der Differentialrechnung
b) ohne Differentialrechnung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2199
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 16:13: |
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Hi
Mit zwei verschiedenen Methoden soll nun die Aufgabe von ***,
ein Dreieck ABC aus der Seite c = 6, dem Seitenverhältnis a : b = 2,
das maximale Fläche aufweist, zu bestimmen, gelöst werden.
1.Methode: mit Differentialrechnung.
Aus der Heron´schen Formel für den Flächeninhalt F eine Dreiecks
ABC aus den drei Seiten a, b, c leitet man die Formel ab:
F = ¼ wurzel [4 a^2 b^2 – (a^2 + b^2 – c^2) ^2 ].
Hierin setzen wir a = 2 b und c = a.
Den Radikanden betrachten wir als Funktion f = f(b) und wir wollen
diejenige Stelle b = b* ermitteln, welche den größten Wert für f liefert.
Es ist f(b) = 16 b^4 – (5 b^2 – 36)^2.
Wir leiten nach b ab:
f ´(b) = 64 b^3 – 20 b (5 b^2 – 36) , die von null verschiedene positive
Nullstelle von f ´(b) ist b = b* = wurzel(20)
Dies führt auf a = a* = 2 b* = wurzel(80).
Die zweite Ableitung ist offensichtlich negativ, also liegt ein Maximum
vor.
Fortsetzung folgt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2201
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 10:50: |
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Hi,
Die folgende Berechnung ist der konstruktiven Lösung
nachgebildet.
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem liegen die
Ecken A(0/0) und B(6/0) des Dreiecks.
AB = 6 stimmt damit mit der gegebenen Seite c überein.
U(2/0) ist der innere, V(-6/0) der äußere Teilpunkte der
im Verhältnis 1 : 2 geteilten Strecke AB
UV ist ein Durchmesser des Apolloniuskreises k,
dessen Mittelpunkt M die Koordinaten xM = -2, yM = 0 hat.
Der Radius von k ist r = 4.
Wir ermitteln den Punkt C auf k, dessen Abstand von der
x-Achse, auf der die Seite c des Dreiecks liegt, am größten ist.
Dieser Punkt ist die dritte Ecke C des gesuchten Dreiecks:
C(-2/4)
Die Seitenlängen des Dreiecks sind:
a = CB = wurzel (8^2+4^2) = wurzel(80)
b = CA = wurzel (2^2+4^2) = wurzel(20)
Das sind unsere früheren Resultate.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Junior Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 18:36: |
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Vielen Dank!
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1274
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 20:25: |
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Hier zur Konstruktion und etwas mehr
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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