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Steffi (geistlein11)
Neues Mitglied
Benutzername: geistlein11
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juni, 2003 - 18:56: | 
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hallo,
ich habe hier 2 windschiefe Geraden mit dem Abstand 2,34.
g: x=(2,1,5)+t(1,0,3) und h:x=(3,4,2) +r(-1,4,1)
Nun soll ich die Punkte G auf g und H auf h so bestimmen, das GH der Abstand der Geraden g und h ist.
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Beatrice (jule_h)
Mitglied
Benutzername: jule_h
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 12:36: |
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hallo Steffi,
nimm auf jeder Geraden einen allgemeinen Punkt, also auf g den Punkt G(2+t/1/5+3t)und auf h den Punkt H(3-r/4+4r/2+r). Bilde den Verbindungsvektor GH = Vektor h - Vektor g = (1-r-t/3+4r/-3+r-3t). Dieser Vektor muss auf beiden Geraden senkrecht stehen. Bilde also das Skalarprodukt dieses Vektors mit den beiden Richtungsvektoren der Geraden und setze es jeweils gleich Null. Du erhältst ein System von 2 Gleichungen mit t und r, das löst du. Die Parameter, die du erhältst, führen dich auf g bzw. h dann zu den richtigen Punkten. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2155
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 13:16: |
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Hi Steffi,
Es ist an der Zeit, dass sich jemand Deinem Problem annimmt.
Es handelt sich bei Deiner Aufgabe um die Ermittlung der
so genannten Minimaltransversalen mm der gegebenen
windschiefen Geraden g und h.
Die Gerade mm schneidet g und je senkrecht,
und zwar g im Punkt M, h im Punkt N.
Der Abstand dieser beiden Punkte ist der kürzeste Abstand do
der beiden windschiefen Geraden.
Im vorliegenden Fall ergibt sich das Resultat:
M : xM = 12/11, yM = 11/11, zM =25/11
N : xN = 39/11, yN = 20/11, zN =16/11
Der Abstand ist do = 1/11* sqrt(891) = 9/sqrt(11) ~ 2,7136
Dieses Resultat erhält man auch mit der Formel, in deren
Zähler ein gewisses Spatprodukt und im Nenner der Betrag
eines gewissen Vektorprodukts steht.
Herleitung der Minimaltransversalen mm.
Bezeichnungen:
a ist der gegebene Richtungsvektor von g:
a = {1;0;3},P der laufende Punkt auf g, Parameter t
b ist der gegebene Richtungsvektor von g:
b = {-1;4;1},Q der laufende Punkt auf h ,Parameter r
Wir ermitteln die drei Koordinaten des Verbindungsvektors
v = PQ; dieser Vektor ist der Differenzvektor der
Ortsvektoren der Punkte Q und P, also:
v = {3 - r - 2 – t ; 4 + 4 r - 1 ; 2 + r – 5 – 3 t }
Da die Transversale mm sowohl auf g als auch auf h senkrecht
steht, sind die beiden folgenden Skalarprodukte null.
v . a = 0
v . b = 0
Es entstehen die folgenden beiden Gleichungen
zur Ermittlung der Parameterwerte t für M und r für N:
r – 5 t – 4 = 0
9 r – t + 4 = 0
Daraus t = - 10 / 11 , r = - 6 / 11
Damit erhält man die angegebenen Punkte
und den erwähnten kürzesten Abstand
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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