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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2108
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 13:21: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer XIV der lockeren Folge,
wiederum aus der Geometrie!*
Alle Kugeln einer Schar gehen durch die festen Punkte
A(0/0/2) und B(2/0/1) und berühren die (x,y).Ebene
im Punkt P.
Auf welcher Ortskurve liegen diese Berührungspunkte
und welches sind die signifikanten Daten dieser Kurve?
Viel Vergnügen bei der Lösung !
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 737
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 18:17: |
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Hi,
also hier bei Temepraturen über 30 Grad erstmal ein Vorschlag:
Die Punkte A und B müssen auf der Kugel liegen, sei M (x|y|z) ihr Mittelpunktund r ihr Radius, ich erhalte zwei Gleichungen:
(A-M)²=r²
(B-M)²=r²
==> x²+y²+(2-z)²=r²
und (2-x)²+y²+(1-z)²=r²
Nun soll z=0 Tangentialebene sein, also muss die z-Koordinaten von M gleich r sein!
Die Gleichungssysteme werden zu:
==> x²+y²+(2-r)²=r²
und (2-x)²+y²+(1-r)²=r²
Jetzt könnte ich x und y in Abhängigkeit von r angeben. Jetzt wieder meine Standardfrage: sind meine Ideen bishierher richtig, denn es war schon wieder einiger Rechenaufwand!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 738
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 20:09: |
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Hi,
leider scheint die Methode nicht zu stimmen. Ich erhalt für x=(1/4)*(2r+1) und für y irgendeinen Wurzelterm.
Kannst du vielleicht einen kleinen versteckten Hinweis ( ) geben, wie man die Aufgabe am besten bearbeitet? Ich brauch meistens so nen kleinen Denkanstoß...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2110
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 20:43: |
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Hi Ferdi
Es gibt auch hier mehrere Lösungswege.
Für zwei davon gebe ich Dir einen Tipp!
Erste Methode.
Setze als Gleichung der gesuchten Kugel an:
(x-u)^2+ (y-v)^2 +(z-w)^2 = w^2 (da ist die Berührung der
(x,y)-Ebene schon postuliert.
Fordere, dass die gegebenen Punkte A und B auf der Kugel
liegen.
Siehe Dir die Gleichungen, die Du bekommst, gut an
(das sollte man immer machen !).
Wirf einen Parameter hinaus, und schon hast Du die
Gleichung der Ortskurve.
Zweite Methode
Kopfrechnung Verwende den Sekanten-Tangentensatz,
der auch für die Kugel gilt!!*************
Sekante ist die Gerade AB, die Tangente liegt in z = 0
Beide schneiden sich auf der x-Achse im Punkt S(?/0/0)
……….
Mehr verrate ich nicht!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 739
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 22:36: |
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Hi megamath,
der Sekanten-Tangentensatz ist mir nicht bekannt, habe ihn aber in meiner FS gefunden. Werde es morgen auch mal mit ihm versuchen.
Jetzt habe ich aber als Lösung gefunden:
Die Berührpunkte wandern auf dem Kreis
(u-4)²+v²=10 , also ein Kreis in der (xy)-Ebene mit Mittelpunkt (4|0|0) [Dann auch der von dir besagte Schnitt von Sekante und Tangente???] und Radius Ö10! Soviel für heute!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 740
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 23:39: |
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Hi nochmal,
eine kleine Korrektur noch: Die Punkte wandern auf dem Halbkreis, dem positiven Teil über der x-Achse, mit (x-4)²+y²=10, die Kurve lautet nämlich y=Ö(8x-x²-6). So jetzt müssts aber stimmen!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2111
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juni, 2003 - 09:16: |
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Hi Ferdi,
Dein Resultat ist richtig; als Lösung kommt die ganze
Kreislinie in Frage.
Mittelpunkt M = S(4/0/0), Radius r = sqrt(10).
S ist der von mir gestern erwähnte Schnittpunkt der
Geraden g = AB mit der x-Achse, den man sofort samt
Koordinaten entdeckt.
Der Radius ergibt sich mit dem Sekanten-Tangentensatz
als geometrisches Mittel der Strecken SA,SB;
Rechnung als Kopfrechnung im Liegestuhl !*
Die erste Methode geht rechnerisch so:
Wir schreiben als Gleichung der gesuchten Kugel:
(x-u)^2 + (y-v)^2 +(z-w)^2 = w^2
damit ist wegen w^2 = r^2 die Berührung der
(x,y)-Ebene schon realisiert!
P(u/v/0) ist der Berührungspunkt der Kugel in der
Ebene z = 0.
Wir fordern, dass die gegebenen Punkte A und B
auf der Kugel liegen.
Punkt A(0/0/2) liefert die (vereinfachte) Gleichung
u^2+v^2 - 4 w + 4 = 0…………………………………(1)
Punkt B(2/0/1) liefert die (vereinfachte) Gleichung
u^2+v^2 - 4 u – 2w + 5 = 0……………………………(2)
Eliminiert man die Variable w aus (1) und (2),
so erhält man eine Kreisgleichung für
die gesuchte Ortskurve des Punktes P(u/v) in der
Ebene z = 0:
u^2 + v^2 – 8 u + 6 = 0 oder
(u-4)^2 + v^2 = 10
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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