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Theo H.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 15:26: |
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Hallo, Ich bitt um Hilfe bei folgender Aufgabe: Man berechne (von Hand) das uneigentliche Integral über f(x) = x^2 / ( 1 + x^2 ) ^ 4 , untere Grenze 0 , obere Grenze unendlich. Ich danke für jede Hilfe im voraus Theo H.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 19:07: |
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Hi Theo, Deine Aufgabe eignet sich bestens, den Umgang mit Integralen zu üben; es kommen die Substitution, die partielle Integration oder, wenn man will, die Partialbruchzerlegung zum Zug. Zur Berechnung des unbestimmten Integrals setzen wir zunächst eine trigonometrische Substitution ein, nämlich: x = tan t , dx = {1+(tan t)^2} * dt , somit erhalten wir das Integral in der Variablen t nach Vereinfachungen: J = int [ ( tan t ) ^2 / { 1+(tan t)^2 }^3 * dt ] ; verwendet man noch die Beziehung 1 / {1+(tan t)^2} = ( cos t ) ^2 , so erhält man: J = int [(cos t ) ^ 4 * (sin t) ^ 2 * dt ]...........................................(1) Durch eine partielle Integration lässt sich dieses Integral im Sinne einer Rekursion auf das Integral K = int [(cos t ) ^ 2 * (sin t) ^ 2 * dt ] .........................................(2) zurückführen; das geht so: Forme J um zu: J = int [cos t * (cos t ) ^ 3 * (sin t) ^ 2 * dt ]……………………(1*) Setze in (1*) zur Vorbereitung der partiellen Integration u ´ = cos t , also u = sin t v = (cos t ) ^ 3 * (sin t) ^ 2 , also v ´ = - 3 * ( cos t ) ^ 2 * (sin t ) ^ 3 + 2* (sin t)*(cos t)^4 Damit erhalten wir: J = (cos t)^3*(sin t)^3 – int[{-3 *(cos t)^2*(sin t)^3+2* sin t* (cos t)^4 } * sin t * dt ], also: J = (cos t)^3*(sin t)^3 +3* int [(cos t)^2*(sin t)^4 * dt ] - 2 * J oder 3*J=(cos t)^3*(sin t)^3+3*int [(cos t)^2*(sin t)^2*{1-(cos t)^2} * dt] rechts erscheint der Summand - 3* J, sodass gilt: J = 1/6* (cos t)^3 * (sin t)^3 + ½* K wobei K das Integral aus (2) darstellt und bekanntlich (!) durch K = 1/8 * t –1/16* cos (2t)* sin (2t) ersetzt werden kann. Eine Stammfunktion in der Variablen t lautet somit: J = 1/6 * (cos t)^3 * (sin t)^3 + 1/16*t – 1/32* cos (2t) * sin (2t) Für t ist als untere Grenze 0 , als obere Grenze ½ * Pi einzusetzen. Das gesuchte uneigentliche Integral hat daher den Wert 1/32 * Pi. °°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Theo H.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 17:33: |
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Hallo H.R.Moser,megamath, Vielen Dank für deine interessante und lehrreiche Lösung ! mfG Theo
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