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Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 15:39: | 
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Sei f: R -> R stetig und es gelte f(x) -> oo für x -> +/- oo
Zeigen Sie, daß f ein Minimum besitzt.
Ich finde, es ist einfach logisch, daß f ein Minimum besitzt, aber wie beweise ich das?
Würde mich über Eure Hilfe sehr freuen. |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 18:56: |
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Hallo Daniel,
Wenn für Deine Funktion f(x) die Vorgaben
f(x)-> 00 für x-> +/- 00 gelten, dann unterteilt sich die Monotonie des Graphen in zwei, genauer gesagt drei Bereiche: Einmal in einen negativen, in einen neutralen und schließlich in einen positiven.
Konkret:
Da der Graph nach +00 verläuft, ist er links vom minimum streng monoton fallend, danach streng monoton steigend. Die Monotonie einer Funktion f(x) wird durch die erste Ableitung f'(x) definiert:
Nun, wenn es bei dieser Funktion f'(x) beliebig nahe beim Extremum xe einen Vorzeichenwechsel von - nach + gibt, bedeutet das, dass f'(x) eine Nullstelle haben muss. Daraus folgt schon mal, das f'(x) = 0 tatsächlich erfüllbar ist.
Die Art des Extremums, nämlich das Minimum, stellen wir dadurch sicher, f''(xe) > 0 sein muß. Das liegt daran, das wir die zweite Ableitung auch zum Interpretieren der Monotonie der ERSTEN Ableitung f'(x) verwenden können: Wie schon gesagt ist diese links von xe negativ und rechts davon positiv. Das heißt aber, das die Funktion f'(x) im Bereich von xe monoton steigend ist, also gilt wie behauptet f''(xe) > 0, was zu beweisen war.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen!
Viele Grüße
 Oliver
Oliver_Knieps@gmx.de |
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