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Tom
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 07:01: |
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Hallo ! Die Aufgabe, die mir stark Probleme bereitet, ist: Zeigen Sie, daß x³-2x²-20x-14 -------------- = 0 mindestens3 Lösungen hat. e^x + 1 Ich hab nicht mal ne Ahnung, wie ich anfangen soll, meiner Meinung nach ist es einfach logisch, daß ein Polynom 3ten Grades 3 Lösungen hat. Danke Tom. |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 09:57: |
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Tom : Die Nullstellen der gegebenen Funktion sind genau die Nullstellen des Zaehlerpolynoms p(x). Falls nach reellen Nullstellen gefragt ist, so ist es durchaus nicht "logisch", dass deren Anzahl drei ist, Gegenbeispiele liegen auf der Hand ! Im vorliegenden Fall rechnest du nach, dass p(x) in den Intervallen [-4,-3], [-1,0] und [5,6] Vorzeichenwechsel erleidet. Nach dem Zwischenwertsatz fŸr stetige Funktionen liegt daher in jedem dieser Intervalle (mindestens) eine Nullstelle. mfg Orion |
Tom
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 14:18: |
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Danke erstmal für deine Antwort, Orion ! nur hab ich jetzt noch eine Frage: wenn ich davon ausgehe, daß ich gar nichts weiß, wie komme ich dann auf die 3 Intervalle ? Durch ausprobieren ? |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 15:38: |
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Warum nicht ? Man koennte auch einen Graphen skizzieren, was man ja in der Schule gelernt hat. Orion |
Florian
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 21:23: |
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Hallo Orion, wenn diese oben genannten Methoden nicht greifen, welche (mathematischen) Methoden gibt es , die erforderlichen Nullstelle(n) zu finden?? Wahrscheinlich nur numerisch zu berechnen, oder?? mfg Florian |
Thomas
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 22:27: |
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Hallo Florian, für Polynome 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln, aber die kann niemand und braucht auch niemand. Wenn eine Lösung erraten werden kann, kann man nach Polynomdivision die anderen beiden (falls vorhanden) ermitteln. Falls das nicht geht, mit Zeichnung/Wertetabelle o. ä. Näherungswerte bestimmen und ein numerisches Verfahren (z.B. Newton) anwenden. Grüße, Thomas |
N.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 20:38: |
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Hallo Kollegen, x³-2x²-20x-14 -------------- = 0 e^x + 1 Wir müssen wie Orion schon sagte die Nullstellen von f(x)=x³-2x²-20x-14=0 Vorab das Ergebnis: Es gibt tatsächlich 3 reelle Nullstellen und sie liegen alle in den von Orion genanten Intervallen. Die genauen Lösungen sind: x1=5,83719 x2=-3,05111 x3=-0,78608 oooooooooooooooooooooooooooooooo Wir wollen nun durch algebraische Methoden(Cardanische Formel) diese 3 Nullstellen berechnen. Hier ist eine Skizze des Rechenweges ohne große Komentare. x³-2x²-20x-14=0 |*27 27x³-54x²-540x-378=0 (s+t)³=s³+3s²t+3st²+t³ =>Koeffizientenvergleich s=3x; t=-2 => (3x-2)³=576x+370 Substitution: 3x-2=y => y³=192y+754 Substitution: y=u+v und Koeffizientenvergleich führen auf quadratische Resolvente z²-754z+64³ z1;2=377±Ö(64³-377²)*i => Satz v. Moivre ³Ör=Ö64=8 cosf=377/512=> f=42,58044° y1=2*8*cos(14,19348°)=15,511572 y2=2*8*cos(134,19348°)=-11,153336 y3=2*8*cos(254,19348°)=-4,3582359 x1=(y1+2)/3=5,8371907 x2=(y2+2)/3=-3,051112 x3=(y3+2)/3=-0,7860786 ========================================= Unsere Ergebnisse sind also noch genauer... Also, wer es nicht numerisch probieren möchte kann es auch so ausrechnen! Es ist im prinzip gar nicht so schwer.... Gruß N. |
Heinzelmänchen
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 21:13: |
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Hallo N., Du nennst Deine Lösungen genau! Es sind aber nur Näherungslösungen! Grüße, Heinzelmänchen |
N.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 08:50: |
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Hi Heinzelmänchen, natürlich sind meine Ergebnisse genau, die ausgerechneten Eergebnisse habe ich natürlich gerundet aber ich habe wenigsdtens einen algebraischen Term den ich so genau usrechnen ann wie ich will! Wie wär's hiermit: x1=(16*cos((arccos(377/512))/3)+2)/3 x2=(16*cos((arccos(377/512))/3 +120°)+2)/3 x3=(16*cos((arccos(377/512))/3 +240°)+2)/3 ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo so, und wenn diese Terme nicht Genau sind..... Gruß N. |
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