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Uli
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 14:22: | 
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Hallo! Vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:
Sei {x hoch i ; i>= 0} die Basis von Q[x]. Sei
D: {x hoch i; i>=0} -> Q[x] die Abbildung, die durch (x hoch 0 -> 0 ) , ( x hoch i -> i*(x hoch (i-1))) für i>=1 gegeben ist. Diese Abbildung setzt sich zu einer eindeutigen liearen Abbildung D: Q[x]->Q[x] fort
a) Geben Sie die Bilder der POlynome unter der Abbilung D an.
b) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von D.
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann, da ich mit Kernen und Bildern so meine Probleme habe....
Lieben Gruß
Uli |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 15:44: |
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Durch diese Abbildung wird einem Polynom p(x) die Ableitung des Polynoms p'(x) zugeordnet.
Für das Bild der Abbildung musst du bestimmen, welche Polynome als Ableitung eines anderen Polynoms auftauchen können.
Für den Kern musst du bestimmen, für welche Polynome die Ableitung das Null-Polynom ist. |
bins nochmal
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 17:58: |
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PS. Fortsetzung einer Abbildung entspricht doch so in etwa der Erweiterung der Urbildmenge, oder? |
Z
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 19:12: |
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Genau. |
the same one
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 12:19: |
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Danke für den Tip, aber ich hab die Aufgabe trotzdem nicht rausbekommen...
ich weiß nicht, was der Hinweis mit der Forsetzung für die Aufgabe bedeuten soll.... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 12:50: |
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Die Abbildung ist ja zunächst nur für Polynome der Form x^i definiert. Nämlich
D(x^i) = i * x^(i-1)
Die Abbildung soll jetzt fortgesetz werden, das heißt für *jedes* Polynom p(x) soll D(p(x)) definiert werden.
Ein Polynom hat immer die Gestalt
p(x) = a_n * x^n + ... + a_2 * x^2 + a_1 * x + a_0
Da die Abbildung D linear sein soll, bleibt nun gar nichts anderes übrig, als
D(p(x))
= D(a_n * x^n + ... + a_2 * x^2 + a_1 * x + a_0)
= D(a_n * x^n + ... + a_2 * x^2 + a_1 * x^1 + a_0 * x^0)
= a_n * D(x^n) + ... + a_2 * D(x^2) + a_1 * D(x^1) + a_0 * D(x^0)
= a_n * n * x^(n-1) + ... + a_2 * 2 * x^1 + a_1 * x^0 + a_0 * 0
Das ist immer so. Wenn die lineare Abbildung für eine Basis definiert ist, dann ist die Abbildung bereits für den gesamten Vektorraum festgelegt. |
Uli
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 13:06: |
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Danke dir! Ich versuchs damit nochmal!!!
:-) |
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