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Desiree
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 10:20: | 
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Untersuche welche Reihen Summe(a[n]2^(-n))konvergieren, wobei
a[n]=1, a[n]=n, a[n]=1/n!, a[n]=n!, a[n]=n^n
Viele Güße Desiree |
WolfgangH
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 02:04: |
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Hallo Desiree
Die erste Reihe (Summe aller 2^(-n)für n=0 bis unendlich) konvergiert, es ist die geometrische Reihe 1+1/2+1/4+ ... und die hat die Summe 1/(1-1/2)=2.
Die dritte Reihe (Summe aller (1/n!)*(1/2^n) ) konvergiert ebenfalls. Begründung: die ersten zwei Glieder sind gleich, ab dem 3. Glied sind alle kleiner als das entsprechende Glied der 1.Reihe, wenn die erste konvergiert, dann konvergiert auch diese.
Die 4. Reihe (Summe aller n!*2^(-n) )konvergiert nicht, ab dem dritten Glied ist jedes größer als das vorhergehende, d.h die einzelnen Glieder und damit erst recht die Summe gehen gegen unendlich.
Dasselbe bei der 5.Reihe.
Bei der 2. Reihe (Summe aller n*2^(-n) ) kann ich mich nicht entscheiden. Die einzelnen Glieder gehen gegen 0, aber ich weiß (noch) nicht, was die Summe macht.
Gruß Wolfgang |
WolfgangH
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 00:18: |
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Hallo Desiree
Die zweite Reihe aus Deiner Sammlung konvergiert, die Summe ist 2.
Wenn man die ersten Glieder der Reihe aufschreibt ist das: Summe= (0/1)+(1/2)+(2/4)+(3/8)+ (4/16)+(5/32)+ ...
Ich schreibe z.B. 2/4 als 1/4 + 1/4 und sortiere neu: Summe= [(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+ ..]+ [(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+ ..]+ [(1/8)+(1/16)+(1/32)+..]+ [(1/16)+(1/32)+ ..]+[(1/32)+ ..]+ ..
In den eckigen Klammern steht jetzt jeweils eine geometrische Reihe, nämlich die erste aus Deiner Aufgabe. Es sind unendlich viele dieser Reihen, die von n=1, n=2, n=3, ... an laufen. Die Summen dieser (Unter-)Reihen sind 1, 1/2, 1/4, ... , und die Gesamtsumme ist dann dieselbe wie Deine erste Aufgabe.
Sieht etwas kompliziert aus, aber mir ist nichts einfacheres eingefallen.
Gruß |
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