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Tobias Wieland (Mbstudi)
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 21:42: |
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Hallo Ich habe schon wieder eine Aufgabe auf meinem ANA-Übungsblatt die mir Rätsel aufgibt. Hoffentlich kann jemand von euch mir helfen. -------------------------------------------------- Sei p eine feste Primzahl. Für eine natürliche Zahl a sei v_p(a) = max{k Element N_0; p^k teilt a}. Ist r =a/b Element Z - {0} eine rationale Zahl, so setze man v_p(r) = v_p(|a|) - v_p(|b|) Zeigen Sie, daß durch d_p(r,s) = p^(-v_p(r-s)) falls r-s ungleich 0 oder 0 falls r-s = 0 eine Metrik auf Q definiert wird, die p-adische Metrik (Hinweis: Benutzen Sie, daß sich jede natürliche Zahl grösser als 1 eindeutig als Produkt von Prim-zahlen schreiben lässt) -------------------------------------------------- Vielen Dank für eure Hilfe |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 14:47: |
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Tobias : Im folgenden unterdrŸcke ich den Index _p, statt p^(-v_p(r)) schreibe ich kurz |r| (p-adische Norm) Man definiert noch |0| := 0. Dann gelten zunaechst die Aussagen (1) |r| >= 0 , und |r|=0 <==> r=0. (2) |r + s| =< max{|r| , |s|} (verschaerfte Dreiecksungleichung) (3) |rs| = |r||s|. Das beweist man leicht durch ZurŸckgehen auf die Definition. Z.B. (2) : sei r = p^m*r_1 s = p^n*s_1 mit maximalen m,n und m=< n <==> |r| >= |s|. Dann ist r+s = p^m*(r_1 + p^(n-m)s_1) ==> v(r+s) >= m ==> |r+s| =< |r| = max{|r|,|s|}. FŸr die p-adische Distanz d(r,s) := |r-s| muss man zeigen: (4) d(r,s) >= 0, und d(r,s) = 0 <==> r=s (5) d(r,s) = d(s,r) (6) d(r,t) =< max{ d(r,s) , d(s,t)} Das folgt nun unmittelbar aus (1)-(3), speziell (6) wegen r-t = (r-s) + (s-t). mfg Hans |
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