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katrin (Blaurot)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 15:25: |
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Kann mir bitte jemand dringend an der folgenden Mtrix erklären wie ich die auf Jordan Normalform bringe?! (25 34 18) (-14 -19 -10) (-4 -6 -1) Danke |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 15:19: |
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Hallo : Die Matrix heisse A. Das charakteristische Polynom von A lautet (rechne alles nach !) p_A(t) = t^3-5t^2+7t-3 = (t-3)(t-1)^2. Die Eigenwerte sind also 3 ,1,1. Ein Eigenvektor zu 3 lautet (-7,4,1)^t. Zum Eigenwert 1 exstiert nur ein linear unabhaengiger Eigenvektor, naemlich bis auf einen Faktor k : (-5,3,1). Eine Jordan-Normalform lautet also (lies zeilenweise): J = ([3,0,0],[0,1,1],[0,0,1]). Wir suchen eine Matrix T derart, dass T^(-1) A T = J. Als erste und zweite Spalte von T kennen wir die oben bestimmten Eigenvektoren. Als dritte Spalte nehmen wir irgendeinen davon linear unabhaengigen Vektor, z.B. (1,-1,0)^t. Wir machen also den Ansatz T = ([-7,-5k,1],[4,3k,-1],[1,k,0]) ==> T^(-1) = ([-1,-1,-2],[1/k,1/k,3/k],[-1,-2,1]) ==> T^(-1) A T = ([3,0,0],[0,1,2/k],[0,0,1]). Wir waehlen somit k = 2, d.h. die Matrix T = ([-7,-10,1],[4,6,-1],[1,2,0]) leistet das Verlangte. Gruss Hans |
Lupo, Attention-Rufer
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 16:07: |
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Hallo Hans, ich habe es nicht verstanden, wieso du gesagt hast: ...Jordan-Normalform lautet also J = ([3,0,0],[0,1,1],[0,0,1]). Außerdem verstehe ich nicht, warum es zu dem Eigenwert 1 nicht zwei Eigenvektoren gibt, aber das ist eine andere Frage. |
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